Chapitre 5 – Principes de la dynamique newtonienne
3. Déterminer la réaction normale R n en fonction de R, u, g (pesanteur), m, v 0 et F.
4.
a) Déterminer l’expression vérifiée par l’angle u d pour lequel la voiture quitterait le sol.
b) Calculer cet angle dans le cas où le conducteur coupe le moteur en A (on prendra
g = 9, 8 m.s
−2 ). Conclusion
c) Est-il préférable d’accélérer ou de freiner ? Calculer la valeur de F pour que la voiture arrive
en B sans encombre.
7.
Étude d’un skieur, d’après ESIGETEL 2000
On étudie le mouvement d’un skieur descendant une piste selon la ligne de plus grande pente,
faisant l’angle a avec l’horizontale. L’air exerce une force de frottement supposée de la forme
− →
F = −l − → v , où l est un coefficient constant positif et − → v la vitesse du skieur.
On note
− →
T et
− →
N les composantes tangentielle et normale de la force de frottement exercée
par la neige et f le coefficient de frottement solide tel que
− →
T = f
− →
N .
On choisit comme origine de l’axe Ox de la ligne de plus grande pente la position initiale du
skieur, supposé partir à l’instant initial avec une vitesse négligeable. On note Oy la normale à
la piste dirigée vers le haut.
1. Calculer
− →
T et
− →
N .
2. Calculer la vitesse − → v et la position x du skieur à chaque instant.
3. a) Montrer que le skieur atteint une vitesse limite − → v l et calculer − → v en fonction de − → v l .
b) Application numérique : calculer v l avec l = 1 S.I., f = 0, 9 , g = 10 m.s
−2 , m = 80 kg
et a = 45
◦ .
4. Calculer littéralement et numériquement la date t 1 où le skieur a une vitesse égale à v l /2.
5. À la date t 1 , le skieur tombe. On néglige alors la résistance de l’air, et on considère que le
coefficient de frottement sur le sol est multiplié par 10. Calculer la distance parcourue par le
skieur avant de s’arrêter.
8.
Atterrissage en catastrophe d’un avion, d’après Agrégation de Chimie 2006
Un avion de chasse de masse m = 9 t en panne de freins atterrit à une vitesse
v a = 241 km.h
−1 . Une fois au sol, il est freiné en secours par un parachute de diamètre
D = 3 m déployé instantanément par le pilote au moment où les roues de l’avion touchent le
sol. On néglige les forces de frottement des roues sur le sol par rapport à la force de traînée
(frottement fluide) du parachute qui s’écrit T = C x rSv
2 /2 avec v la vitesse de l’avion, S
la surface projetée du parachute sur un plan perpendiculaire à la vitesse, C x le coefficient
de traînée supposé constant et égal à 1,5, r = 1, 2 kg.m
−3 la masse volumique de l’air. On
considère que le réacteur ne délivre plus aucune poussée.
1. a) Établir l’équation différentielle à laquelle obéit la vitesse v de l’avion.
b) En déduire l’expression de v en fonction de la date t. On prendra comme origine des
temps la date à laquelle les roues de l’avion touchent le sol.
c) Montrer que cette force de trainée n’est pas suffisante pour stopper complètement l’avion.
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3. Déterminer la réaction normale R n en fonction de R, u, g (pesanteur), m, v 0 et F.
4.
a) Déterminer l’expression vérifiée par l’angle u d pour lequel la voiture quitterait le sol.
b) Calculer cet angle dans le cas où le conducteur coupe le moteur en A (on prendra
g = 9, 8 m.s
−2 ). Conclusion
c) Est-il préférable d’accélérer ou de freiner ? Calculer la valeur de F pour que la voiture arrive
en B sans encombre.
7.
Étude d’un skieur, d’après ESIGETEL 2000
On étudie le mouvement d’un skieur descendant une piste selon la ligne de plus grande pente,
faisant l’angle a avec l’horizontale. L’air exerce une force de frottement supposée de la forme
− →
F = −l − → v , où l est un coefficient constant positif et − → v la vitesse du skieur.
On note
− →
T et
− →
N les composantes tangentielle et normale de la force de frottement exercée
par la neige et f le coefficient de frottement solide tel que
− →
T = f
− →
N .
On choisit comme origine de l’axe Ox de la ligne de plus grande pente la position initiale du
skieur, supposé partir à l’instant initial avec une vitesse négligeable. On note Oy la normale à
la piste dirigée vers le haut.
1. Calculer
− →
T et
− →
N .
2. Calculer la vitesse − → v et la position x du skieur à chaque instant.
3. a) Montrer que le skieur atteint une vitesse limite − → v l et calculer − → v en fonction de − → v l .
b) Application numérique : calculer v l avec l = 1 S.I., f = 0, 9 , g = 10 m.s
−2 , m = 80 kg
et a = 45
◦ .
4. Calculer littéralement et numériquement la date t 1 où le skieur a une vitesse égale à v l /2.
5. À la date t 1 , le skieur tombe. On néglige alors la résistance de l’air, et on considère que le
coefficient de frottement sur le sol est multiplié par 10. Calculer la distance parcourue par le
skieur avant de s’arrêter.
8.
Atterrissage en catastrophe d’un avion, d’après Agrégation de Chimie 2006
Un avion de chasse de masse m = 9 t en panne de freins atterrit à une vitesse
v a = 241 km.h
−1 . Une fois au sol, il est freiné en secours par un parachute de diamètre
D = 3 m déployé instantanément par le pilote au moment où les roues de l’avion touchent le
sol. On néglige les forces de frottement des roues sur le sol par rapport à la force de traînée
(frottement fluide) du parachute qui s’écrit T = C x rSv
2 /2 avec v la vitesse de l’avion, S
la surface projetée du parachute sur un plan perpendiculaire à la vitesse, C x le coefficient
de traînée supposé constant et égal à 1,5, r = 1, 2 kg.m
−3 la masse volumique de l’air. On
considère que le réacteur ne délivre plus aucune poussée.
1. a) Établir l’équation différentielle à laquelle obéit la vitesse v de l’avion.
b) En déduire l’expression de v en fonction de la date t. On prendra comme origine des
temps la date à laquelle les roues de l’avion touchent le sol.
c) Montrer que cette force de trainée n’est pas suffisante pour stopper complètement l’avion.
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