• une force de frottement
− →
f f = −k − → v ( − → v étant la vitesse et k = 250 kg.s
−1 ) ;
• la poussée d’Archimède
− →
P = −
m
d h
− → g (d h = 0, 9 est la densité du corps humain).
a) Établir l’équation différentielle à laquelle obéit la vitesse en projection sur Oz, notée v z .
On posera t = m/k.
b) Intégrer cette équation en prenant comme nouvelle origine des temps t = t c .
c) Déterminer la vitesse limite v L (<0) en fonction de m, k, g et d h . Application numérique.
d) Exprimer la vitesse v z en fonction de v e , |v L | et t. Déterminer à quel instant t 1 le baigneur
commence à remonter.
e) En prenant la surface de l’eau comme nouvelle origine de l’axe Oz, exprimer z(t). En
déduire la profondeur maximale pouvant être atteinte.
f) En fait, il suffit que le baigneur arrive au fond de la piscine avec une vitesse de l’ordre de
1 m.s
−1 pour pouvoir se repousser avec ses pieds : à quel instant t 2 atteint-il cette vitesse et
quelle est la profondeur minimale du bassin ?
3. Le même baigneur décide maintenant d’effectuer un plongeon. On suppose qu’il entre
dans l’eau avec un angle a = 60
◦ par rapport à l’horizontale et une vitesse v 0 = 8 m.s
−1 . Les
forces qui s’exercent sur lui sont les mêmes que précédemment mais le coefficient k est divisé
par deux en raison d’une meilleure pénétration dans l’eau.
On repère le mouvement par les axes Ox (axe horizontal de même sens que − → v 0 ) et Oz (vertical
descendant comme précédemment) ; le point O est le point de pénétration dans l’eau.
a) Déterminer les projections des équations du mouvement sur Ox et Oz.
b) En déduire les composantes de la vitesse dans l’eau en fonction du temps. Existe-t-il une
vitesse limite ?
c) Le plongeur peut-il atteindre le fond de la piscine situé à 4 m ?
6.
Décollage d’un véhicule
O
A
B
M
a
u
− → u r
− → u u
Figure 5.17
Une voiture, assimilé à un point matériel M de
masse m = 1 000 kg amorce une descente en A à
la vitesse v 0 = 125 km.h
−1 (figure 5.17). On assimile le début de la descente de A à B à un arc de
cercle, de centre O, de rayon R = 130 m et d’angle
a = 15
◦ .
On suppose que durant la descente la force motrice
de la voiture est tangente à la route et de valeur
algébrique F constante (positive pour une accélération et négative pour un freinage). On néglige les
frottements sur la route.
1. Déterminer les équations du mouvement de M(R, u) en projection sur la base polaire de
centre O : ( − → u r , − → u u ).
2. Après avoir multiplié l’équation sur − → u u par ˙
u, l’intégrer.
139
− →
f f = −k − → v ( − → v étant la vitesse et k = 250 kg.s
−1 ) ;
• la poussée d’Archimède
− →
P = −
m
d h
− → g (d h = 0, 9 est la densité du corps humain).
a) Établir l’équation différentielle à laquelle obéit la vitesse en projection sur Oz, notée v z .
On posera t = m/k.
b) Intégrer cette équation en prenant comme nouvelle origine des temps t = t c .
c) Déterminer la vitesse limite v L (<0) en fonction de m, k, g et d h . Application numérique.
d) Exprimer la vitesse v z en fonction de v e , |v L | et t. Déterminer à quel instant t 1 le baigneur
commence à remonter.
e) En prenant la surface de l’eau comme nouvelle origine de l’axe Oz, exprimer z(t). En
déduire la profondeur maximale pouvant être atteinte.
f) En fait, il suffit que le baigneur arrive au fond de la piscine avec une vitesse de l’ordre de
1 m.s
−1 pour pouvoir se repousser avec ses pieds : à quel instant t 2 atteint-il cette vitesse et
quelle est la profondeur minimale du bassin ?
3. Le même baigneur décide maintenant d’effectuer un plongeon. On suppose qu’il entre
dans l’eau avec un angle a = 60
◦ par rapport à l’horizontale et une vitesse v 0 = 8 m.s
−1 . Les
forces qui s’exercent sur lui sont les mêmes que précédemment mais le coefficient k est divisé
par deux en raison d’une meilleure pénétration dans l’eau.
On repère le mouvement par les axes Ox (axe horizontal de même sens que − → v 0 ) et Oz (vertical
descendant comme précédemment) ; le point O est le point de pénétration dans l’eau.
a) Déterminer les projections des équations du mouvement sur Ox et Oz.
b) En déduire les composantes de la vitesse dans l’eau en fonction du temps. Existe-t-il une
vitesse limite ?
c) Le plongeur peut-il atteindre le fond de la piscine situé à 4 m ?
6.
Décollage d’un véhicule
O
A
B
M
a
u
− → u r
− → u u
Figure 5.17
Une voiture, assimilé à un point matériel M de
masse m = 1 000 kg amorce une descente en A à
la vitesse v 0 = 125 km.h
−1 (figure 5.17). On assimile le début de la descente de A à B à un arc de
cercle, de centre O, de rayon R = 130 m et d’angle
a = 15
◦ .
On suppose que durant la descente la force motrice
de la voiture est tangente à la route et de valeur
algébrique F constante (positive pour une accélération et négative pour un freinage). On néglige les
frottements sur la route.
1. Déterminer les équations du mouvement de M(R, u) en projection sur la base polaire de
centre O : ( − → u r , − → u u ).
2. Après avoir multiplié l’équation sur − → u u par ˙
u, l’intégrer.
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