On rappelle que la dérivée de la fonction f (x) = tanh
−1
x
a
est f
(x) =
1
a
1
1 − (x/a) 2 .
c) Sachant que le corps est lâché à l’instant initial de la cote z = 0, donner l’expression de sa
cote ultérieure z(t) en fonction des constantes v l et t. Ce résultat dépend-il de la masse m ?
S’il n’y avait pas de frottement, est ce que z(t) dépendrait de la masse m ?
3. Application numérique : elle concerne des corps sphériques de diamètre d pour lesquels
C x 1 et S = pd
2 /4 S étant la plus grande section droite du corps perpendiculaire à la
direction du mouvement. Elle est menée parallèlement pour :
• une balle de tennis (objet 1) pour laquelle m 1 = 57, 6 g et d 1 = 6, 70 cm ;
• une boule de pétanque (objet 2) pour laquelle m 2 = 700g et d 2 = 7, 60 cm.
a) Calculer t 1 et t 2 d’une part, et v l,1 et v l,2 de l’autre. À quel paramètre est essentiellement
due cette différence ?
Lâchées simultanément de la même hauteur, quelle est, de la balle de tennis et de la boule de
pétanque, celle qui touche le sol en premier ?
b) La hauteur de chute est fixée à h = 1, 80 m au dessus du sol (hauteur d’homme).
• Calculer les deux temps de chute t 1 et t 2 puis exprimer en millisecondes la différence
Dt = t 1 − t 2 .
• Avec combien de centimètres d’avance le premier corps arrive-t-il avant le second ? Ces
différences sont-elles suffisantes pour être notables ?
c) La hauteur de chute est fixée à h = 10 m au dessus du sol (4ème étage d’un immeuble).
Reprendre les applications numériques de la question précédente et conclure.
3.
Toboggan
x
z
o
A
B
h
d
C O
C B
Figure 5.16
Une personne participant à un jeu
télévisé doit laisser glisser un paquet
sur un toboggan, à partir du point
A de manière à ce qu’il soit réceptionné, au point B par un chariot
se déplaçant le long de l’axe Ox.
On néglige les frottements de l’air.
Le toboggan exerce sur le paquet
non seulement une réaction normale
− →
R N mais aussi une réaction tangentielle
− →
R t (frottement solide) telle que
− →
R t = f
− →
R N avec f = 0, 5.
Le chariot part du point C O à l’instant t = 0, vers la gauche (figure 5.16) avec une vitesse v c = 0.5 m.s
−1 . Arrivé en C B , il
s’arrête pendant un intervalle de temps dt = 1 s.
La hauteur du toboggan est h = 4 m, la distance d est égale à h et C 0 C B = 2 m. La masse du
paquet est m = 10 kg et g = 9, 8 m.s
−2 .
1. On pose X = AP où P est la position du paquet à l’instant t. Déterminer X(t). En déduire
le temps mis par le paquet pour arriver en B.
137
−1
x
a
est f
(x) =
1
a
1
1 − (x/a) 2 .
c) Sachant que le corps est lâché à l’instant initial de la cote z = 0, donner l’expression de sa
cote ultérieure z(t) en fonction des constantes v l et t. Ce résultat dépend-il de la masse m ?
S’il n’y avait pas de frottement, est ce que z(t) dépendrait de la masse m ?
3. Application numérique : elle concerne des corps sphériques de diamètre d pour lesquels
C x 1 et S = pd
2 /4 S étant la plus grande section droite du corps perpendiculaire à la
direction du mouvement. Elle est menée parallèlement pour :
• une balle de tennis (objet 1) pour laquelle m 1 = 57, 6 g et d 1 = 6, 70 cm ;
• une boule de pétanque (objet 2) pour laquelle m 2 = 700g et d 2 = 7, 60 cm.
a) Calculer t 1 et t 2 d’une part, et v l,1 et v l,2 de l’autre. À quel paramètre est essentiellement
due cette différence ?
Lâchées simultanément de la même hauteur, quelle est, de la balle de tennis et de la boule de
pétanque, celle qui touche le sol en premier ?
b) La hauteur de chute est fixée à h = 1, 80 m au dessus du sol (hauteur d’homme).
• Calculer les deux temps de chute t 1 et t 2 puis exprimer en millisecondes la différence
Dt = t 1 − t 2 .
• Avec combien de centimètres d’avance le premier corps arrive-t-il avant le second ? Ces
différences sont-elles suffisantes pour être notables ?
c) La hauteur de chute est fixée à h = 10 m au dessus du sol (4ème étage d’un immeuble).
Reprendre les applications numériques de la question précédente et conclure.
3.
Toboggan
x
z
o
A
B
h
d
C O
C B
Figure 5.16
Une personne participant à un jeu
télévisé doit laisser glisser un paquet
sur un toboggan, à partir du point
A de manière à ce qu’il soit réceptionné, au point B par un chariot
se déplaçant le long de l’axe Ox.
On néglige les frottements de l’air.
Le toboggan exerce sur le paquet
non seulement une réaction normale
− →
R N mais aussi une réaction tangentielle
− →
R t (frottement solide) telle que
− →
R t = f
− →
R N avec f = 0, 5.
Le chariot part du point C O à l’instant t = 0, vers la gauche (figure 5.16) avec une vitesse v c = 0.5 m.s
−1 . Arrivé en C B , il
s’arrête pendant un intervalle de temps dt = 1 s.
La hauteur du toboggan est h = 4 m, la distance d est égale à h et C 0 C B = 2 m. La masse du
paquet est m = 10 kg et g = 9, 8 m.s
−2 .
1. On pose X = AP où P est la position du paquet à l’instant t. Déterminer X(t). En déduire
le temps mis par le paquet pour arriver en B.
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