Chapitre 5 – Principes de la dynamique newtonienne
7. Faire l’application numérique pour un lancer franc (la distance D vaut alors 4,60 m) puis
pour un panier à trois points (la distance D vaut alors 6,25 m selon les règles de la Fédération
Internationale de Basket-Ball).
8. Si la condition précédente est vérifiée, donner l’expression de tan a et en déduire qu’il
existe deux angles possibles pour marquer le panier.
9. Donner les valeurs numériques des angles a permettant de marquer un lancer franc en
supposant que v 0 = 10, 0 m.s
−1 .
10. Dans la suite, on suppose que l’angle de tir est fixé. Déterminer l’expression de la vitesse
initiale v 0 à imposer pour marquer le panier.
11. Faire l’application numérique pour un lancer franc et un angle de tir a = 70
◦ .
12. On s’intéresse maintenant à l’influence de la dimension du ballon et du cercle du panier.
On rappelle que le rayon du ballon est de 17,8 cm et que le diamètre du cercle mesure 45,0 cm.
On note x la distance du centre du ballon au panneau à hauteur du cercle du panier. Donner
l’intervalle des valeurs de x permettant de marquer le panier.
13. Quelle équation doit vérifier x ? On pourra la laisser sous la forme d’une équation du
second degré en (D + x).
14. En déduire la condition que doivent vérifier v 0 , a, g, H et h pour que cette équation ait
des solutions.
15. En déduire les valeurs d’angle de tir possibles en supposant la vitesse initiale v 0 fixée. On
fera l’application numérique pour v 0 = 10, 0 m.s
−1 .
16. Établir l’existence d’une valeur minimale de v 0 à angle de tir fixé. On fera l’application
numérique pour a = 70
◦ .
17. Cette condition étant vérifiée, donner l’expression de x.
2.
Chute avec frottement quadratique, d’après ESIM 2001
Le repère terrestre est pris galiléen et le module de l’accélération de la pesanteur est
g = 9, 81 m.s
−2 .
L’axe Oz est orienté vers le bas et seul est étudié le mouvement de chute d’un corps de masse
m. La trajectoire est donc rectiligne. Dans l’air, ce corps est alors soumis, selon Oz, à une force
de frottement visqueux de norme kv
2 avec k =
1
2 C x r 0 S où r 0 = 1, 22 kg.m
−3 est la masse
volumique de l’air, v le module de la vitesse du corps, S est une section et C x un coefficient
aérodynamique, tous deux caractéristiques de la forme du corps.
Le poids et le frottement sont les deux seules forces prises en compte.
1. Comment peut-on comprendre qualitativement l’existence d’une vitesse limite ? Exprimer
cette vitesse limite v l en fonction des données de l’énoncé.
2. a) Écrire l’équation différentielle donnant la vitesse v du corps en y faisant figurer comme
seules constantes v l et g. Quelle est la caractéristique de cette équation ?
b) L’intégrer directement après avoir séparé les variables, et exprimer la vitesse v(t) à l’aide
d’une fonction hyperbolique et des constantes v l et t = v l /g en choisissant comme instant
initial t = 0. Quelles sont la dimension et la signification physique de t ?
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7. Faire l’application numérique pour un lancer franc (la distance D vaut alors 4,60 m) puis
pour un panier à trois points (la distance D vaut alors 6,25 m selon les règles de la Fédération
Internationale de Basket-Ball).
8. Si la condition précédente est vérifiée, donner l’expression de tan a et en déduire qu’il
existe deux angles possibles pour marquer le panier.
9. Donner les valeurs numériques des angles a permettant de marquer un lancer franc en
supposant que v 0 = 10, 0 m.s
−1 .
10. Dans la suite, on suppose que l’angle de tir est fixé. Déterminer l’expression de la vitesse
initiale v 0 à imposer pour marquer le panier.
11. Faire l’application numérique pour un lancer franc et un angle de tir a = 70
◦ .
12. On s’intéresse maintenant à l’influence de la dimension du ballon et du cercle du panier.
On rappelle que le rayon du ballon est de 17,8 cm et que le diamètre du cercle mesure 45,0 cm.
On note x la distance du centre du ballon au panneau à hauteur du cercle du panier. Donner
l’intervalle des valeurs de x permettant de marquer le panier.
13. Quelle équation doit vérifier x ? On pourra la laisser sous la forme d’une équation du
second degré en (D + x).
14. En déduire la condition que doivent vérifier v 0 , a, g, H et h pour que cette équation ait
des solutions.
15. En déduire les valeurs d’angle de tir possibles en supposant la vitesse initiale v 0 fixée. On
fera l’application numérique pour v 0 = 10, 0 m.s
−1 .
16. Établir l’existence d’une valeur minimale de v 0 à angle de tir fixé. On fera l’application
numérique pour a = 70
◦ .
17. Cette condition étant vérifiée, donner l’expression de x.
2.
Chute avec frottement quadratique, d’après ESIM 2001
Le repère terrestre est pris galiléen et le module de l’accélération de la pesanteur est
g = 9, 81 m.s
−2 .
L’axe Oz est orienté vers le bas et seul est étudié le mouvement de chute d’un corps de masse
m. La trajectoire est donc rectiligne. Dans l’air, ce corps est alors soumis, selon Oz, à une force
de frottement visqueux de norme kv
2 avec k =
1
2 C x r 0 S où r 0 = 1, 22 kg.m
−3 est la masse
volumique de l’air, v le module de la vitesse du corps, S est une section et C x un coefficient
aérodynamique, tous deux caractéristiques de la forme du corps.
Le poids et le frottement sont les deux seules forces prises en compte.
1. Comment peut-on comprendre qualitativement l’existence d’une vitesse limite ? Exprimer
cette vitesse limite v l en fonction des données de l’énoncé.
2. a) Écrire l’équation différentielle donnant la vitesse v du corps en y faisant figurer comme
seules constantes v l et g. Quelle est la caractéristique de cette équation ?
b) L’intégrer directement après avoir séparé les variables, et exprimer la vitesse v(t) à l’aide
d’une fonction hyperbolique et des constantes v l et t = v l /g en choisissant comme instant
initial t = 0. Quelles sont la dimension et la signification physique de t ?
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