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Résolution d’un problème de mécanique - Exemples
En reportant l’expression obtenue pour l e , on obtient l’équation différentielle suivante :
¨ x +
k
m
x = 0
Il est important de noter la méthode employée ici qui consiste à introduire la position d’équilibre aussi bien pour le mouvement horizontal que pour le mouvement vertical et à définir
x non pas comme l’allongement du ressort mais comme l’écart par rapport à la position
d’équilibre. L’intérêt de cette approche est d’éliminer toutes les constantes de l’équation du
mouvement et d’obtenir dans les deux cas la même équation :
¨ x +
k
m
x = 0
Il s’agit de l’équation d’un oscillateur harmonique dont la solution s’écrit :
x(t) = A cos v 0 t + B sin v 0 t
en notant v 0 =
k
m
et A et B deux constantes. Si on suppose qu’initialement on a
x(0) = x 0 et ˙
x(0) = v 0 , on en déduit :
x(t) = x 0 cos v 0 t +
v 0
v 0
sin v 0 t
On développera l’étude de ce mouvement dans un chapitre ultérieur consacré aux
oscillateurs mécaniques.
133
Résolution d’un problème de mécanique - Exemples
En reportant l’expression obtenue pour l e , on obtient l’équation différentielle suivante :
¨ x +
k
m
x = 0
Il est important de noter la méthode employée ici qui consiste à introduire la position d’équilibre aussi bien pour le mouvement horizontal que pour le mouvement vertical et à définir
x non pas comme l’allongement du ressort mais comme l’écart par rapport à la position
d’équilibre. L’intérêt de cette approche est d’éliminer toutes les constantes de l’équation du
mouvement et d’obtenir dans les deux cas la même équation :
¨ x +
k
m
x = 0
Il s’agit de l’équation d’un oscillateur harmonique dont la solution s’écrit :
x(t) = A cos v 0 t + B sin v 0 t
en notant v 0 =
k
m
et A et B deux constantes. Si on suppose qu’initialement on a
x(0) = x 0 et ˙
x(0) = v 0 , on en déduit :
x(t) = x 0 cos v 0 t +
v 0
v 0
sin v 0 t
On développera l’étude de ce mouvement dans un chapitre ultérieur consacré aux
oscillateurs mécaniques.
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