Chapitre 5 – Principes de la dynamique newtonienne
Vitesse limite
On peut à partir des résultats précédents établir l’existence d’une vitesse limite obtenue
quand le temps tend vers l’infini :
− → v l =
m
k
− → g
On peut noter qu’il s’agit de la valeur obtenue quand l’accélération s’annule. Elle est
indépendante des conditions initiales et est atteinte au bout de quelques t.
Trajectoire
mv
2
0 cos
2 a
mg+kv0 cos a
mv0 cos a
k
z
x
Figure 5.9 Trajectoire d’un tir avec un
frottement proportionnel à la vitesse.
On laisse au lecteur le soin d’établir
que l’équation de la trajectoire est :
z = −
m
2 g
k 2 ln
mv 0 cos a
mv 0 cos a − kx
+
mg
k
+ v 0 sin a
x
v 0 cos a
On peut noter que lorsque le temps
t tend vers l’infini alors x tend vers
mv 0 cos a
k
, ce qui établit l’existence
d’une asymptote verticale au mouvement.
On peut également établir que la trajectoire atteint une altitude maximale
pour
x =
mv
2
0 cos
2 a
mg + kv 0 cos a
L’allure de la trajectoire est donnée
ci-contre.
4.5 Mouvement d’une masse attachée à un ressort dont l’autre extrémité
est fixe
On s’intéresse au mouvement d’un point matériel M de masse m attaché à un ressort
parfaitement élastique dont l’autre extrémité est fixe. On note k la raideur du ressort
et l 0 sa longueur à vide.
On distingue les deux cas d’un mouvement horizontal et d’un mouvement vertical.
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