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Résolution d’un problème de mécanique - Exemples
On peut résoudre cette équation différentielle du premier ordre soit scalairement
après projection dans une base (la base cartésienne est bien adaptée au problème) soit
vectoriellement, ce qui va être fait ici.
La solution s’écrit comme la somme de la solution générale de l’équation homogène
associée − →
v H et d’une solution particulière − → v P .
La résolution de l’équation homogène associée conduit à :
− → v H =
− →
C exp
−
t
t
en notant
− →
C une constante vectorielle et en posant t =
m
k
.
La recherche d’une solution particulière est simple puisque le second membre est une
constante :
− → v P =
m
k
− → g
La solution globale est donc :
− → v =
− →
C exp
−
t
t
+
m
k
− → g
On détermine la constante à l’aide des conditions initiales, à savoir
− → v (t = 0) = − → v 0 =
− →
C +
m
k
− → g
soit
− →
C = − → v 0 −
m
k
− → g et finalement on obtient :
− → v = − → v 0 exp
−
t
t
+
m
k
− → g
exp
−
t
t
− 1
La position se déduit alors facilement par intégration par rapport au temps :
− − →
OM = −
m
k
− → v 0 exp
−
t
t
+
m
k
t − → g +
m
2
k 2
− → g exp
−
t
t
+
− →
K
et la constante
− →
K s’obtient en tenant compte de la position initiale :
− − →
OM(t = 0) =
− →
0
et finalement
− − →
OM =
m
k
− → g t +
m
k
m
k
− → g − − → v 0
exp
−
t
t
− 1
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