Chapitre 5 – Principes de la dynamique newtonienne
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v
t
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400
300
200
100
0
x
t
Figure 5.8 Vitesse et position d’une chute en parachute.
• Dans les deux cas, il existe une vitesse limite dont la valeur n’est pas la même :
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
v l =
mg
k
pour un frottement proportionnel à la vitesse,
v l =
mg
k
pour un frottement proportionnel au carré de la vitesse.
Les figures ci-dessus montrent l’évolution temporelle de la vitesse (en m.s −1 ) et de
la distance parcourue (en m) lors du saut d’un parachutiste. On observe l’existence
de la vitesse limite et l’adéquation de ce qui vient d’être établi avec l’expérience.
• Un frottement proportionnel à la vitesse convient bien lorsque les vitesses sont
faibles : il est toujours possible dans ce cas de linéariser. En revanche, lorsque les
vitesses deviennent plus importantes, il est nécessaire d’envisager un frottement
proportionnel à une puissance de la vitesse. On a traité ici le cas du carré mais
d’autres valeurs de puissance pourraient être considérées.
• La méthode employée dans le cas d’un frottement proportionnel au carré de la
vitesse est intéressante : l’introduction d’une valeur limite pour la vitesse permet de
« ramener » une équation différentielle a priori complexe à résoudre à une équation
« classique ». Plus que le résultat, il peut être utile de retenir l’idée d’introduire un
paramètre limite pour simplifier la résolution.
Des précisions sur l’expression de la force de frottement seront apportées dans le cours
de mécanique des fluides de seconde année PC et PSI.
b) Influence de la résistance de l’air sur le tir d’un point matériel
On se limite au cas d’une force de frottement proportionnelle à la vitesse pour modéliser la résistance de l’air. L’équation du mouvement est la même que celle de la chute
libre :
m − → a = −k − → v + m − → g
soit
d − → v
dt
+
k
m
− → v = − → g
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Figure 5.8 Vitesse et position d’une chute en parachute.
• Dans les deux cas, il existe une vitesse limite dont la valeur n’est pas la même :
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
v l =
mg
k
pour un frottement proportionnel à la vitesse,
v l =
mg
k
pour un frottement proportionnel au carré de la vitesse.
Les figures ci-dessus montrent l’évolution temporelle de la vitesse (en m.s −1 ) et de
la distance parcourue (en m) lors du saut d’un parachutiste. On observe l’existence
de la vitesse limite et l’adéquation de ce qui vient d’être établi avec l’expérience.
• Un frottement proportionnel à la vitesse convient bien lorsque les vitesses sont
faibles : il est toujours possible dans ce cas de linéariser. En revanche, lorsque les
vitesses deviennent plus importantes, il est nécessaire d’envisager un frottement
proportionnel à une puissance de la vitesse. On a traité ici le cas du carré mais
d’autres valeurs de puissance pourraient être considérées.
• La méthode employée dans le cas d’un frottement proportionnel au carré de la
vitesse est intéressante : l’introduction d’une valeur limite pour la vitesse permet de
« ramener » une équation différentielle a priori complexe à résoudre à une équation
« classique ». Plus que le résultat, il peut être utile de retenir l’idée d’introduire un
paramètre limite pour simplifier la résolution.
Des précisions sur l’expression de la force de frottement seront apportées dans le cours
de mécanique des fluides de seconde année PC et PSI.
b) Influence de la résistance de l’air sur le tir d’un point matériel
On se limite au cas d’une force de frottement proportionnelle à la vitesse pour modéliser la résistance de l’air. L’équation du mouvement est la même que celle de la chute
libre :
m − → a = −k − → v + m − → g
soit
d − → v
dt
+
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− → v = − → g
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