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Résolution d’un problème de mécanique - Exemples
La constante t s’interprète donc comme la durée caractéristique au bout de laquelle
le point matériel atteint sa vitesse limite.
La position s’obtient en intégrant cette expression en fonction du temps :
z = h +
t
0
v(u)du = h +
t
0
mg
k
th
u
t
du = h +
m
k
ln
ch
t
t
On peut également obtenir facilement l’expression de z en fonction de la vitesse en
remarquant que :
dv
dt
=
dv
dz
dz
dt
=
dv
dz
v =
1
2
d
v
2
dz
En reportant cette expression dans l’équation du principe fondamental de la dynamique, on obtient :
d
v
2
dz
= 2
k
m
v
2
l − v
2
En posant u = v
2 , on obtient l’équation différentielle linéaire du premier ordre en u :
du
dz
+
2k
m
u =
2kv
2
l
m
dont la solution est :
u = v
2 = v
2
l + A exp
−
z
H
en posant H =
m
2k
qui correspond à une distance caractéristique. Or à t = 0, v = 0
et z = h donc 0 = v
2
l + A exp
−
h
H
soit A = −v
2
l exp
h
H
et
v
2 = v
2
l
1 − exp
−
z − h
H
soit en inversant :
z = h − H ln
v
2
l − v
2
v 2
l
La distance H s’interprète donc comme la distance caractéristique pour laquelle le
point matériel atteint la vitesse limite.
Comparaison et discussion
L’objet de ce paragraphe est de comparer les deux types de frottement envisagés.
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