Chapitre 5 – Principes de la dynamique newtonienne
car l’accélération tend vers 0 lorsque la vitesse tend vers une constante. La vitesse
limite a donc pour expression :
v l =
mg
k
On note qu’elle est indépendante des conditions initiales.
Expression de la vitesse
On peut alors introduire la vitesse limite dans l’équation différentielle qui devient :
dv
dt
=
k
m
v
2
l − v
2
C’est une équation différentielle à variables séparables :
dv
v 2
l − v 2 =
k
m
dt
Une solution classique
4 pour obtenir la solution de cette équation différentielle
consiste alors à décomposer
1
v 2
l − v 2 en éléments simples :
1
v 2
l − v 2 =
1
2v l (v l − v)
+
1
2v l (v l + v)
et on peut réécrire l’équation différentielle sous la forme :
dv
v l − v
+
dv
v l + v
=
2kv l
m
dt = 2
t
t
en notant t =
m
kv l
=
m
kg
. On obtient par intégration entre t = 0 et t et en tenant
compte des conditions initiales :
− ln
v l − v
v l
+ ln
v l + v
v l
= ln
v l + v
v l − v
= 2
t
t
soit
v l + v
v l − v
= exp
2t
t
On en déduit :
v = v l th
t
t
=
mg
k
th
t
t
4 L’autre façon de procéder consiste à connaître une primitive d’expression du type
1
a 2 − x 2 .
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