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Résolution d’un problème de mécanique - Exemples
et la constante K s’obtient en tenant compte de la position initiale :
z(t = 0) = h = −
m
2
k 2 g + K
soit
K = h +
m
2
k 2 g
et finalement
z(t) = −
m
k
gt +
m
2
k 2 g
1 − exp
−
t
t
+ h
Vitesse limite
On peut à partir des résultats précédents établir l’existence d’une vitesse limite obtenue
quand le temps tend vers l’infini :
v l = −
m
k
g
On peut noter qu’il s’agit de la valeur obtenue quand l’accélération s’annule : quand
la vitesse tend vers une constante, l’accélération est nulle. Elle est indépendante des
conditions initiales. Cependant elle n’est pas obtenue instantanément mais après un
régime transitoire dont la durée caractéristique est la constante t. La constante t
s’interprète donc physiquement comme le temps caractéristique d’établissement du
régime pour lequel la vitesse est égale à la vitesse limite.
Force de frottement proportionnelle au carré de la vitesse
On considère maintenant que la force de frottement se met sous la forme
−kv − → v
et le principe fondamental de la dynamique devient :
m
d − → v
dt
= m − → g − kv − → v
On considère toujours le cas particulier où la vitesse initiale est nulle. Le problème
est alors unidimensionnel pour les mêmes raisons qu’avec une force de frottement
proportionnelle à la vitesse. On a donc simplement l’équation différentielle scalaire
suivante à résoudre :
dv
dt
+
k
m
v
2 = g
Cette équation n’est pas linéaire, on ne peut donc pas la résoudre comme la précédente.
Vitesse limite
Comme dans le cas d’un frottement proportionnel à la vitesse, le point matériel atteint
une vitesse limite vérifiant :
k
m
v
2
l = g
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