Chapitre 5 – Principes de la dynamique newtonienne
Le principe fondamental de la dynamique s’écrit alors :
m − → a = −k − → v + m − → g
On suppose toujours que la vitesse initiale est nulle et que la masse est lâchée d’une
hauteur h par rapport au sol. Toutes les forces sont verticales puisqu’initialement il n’y
a que le poids et que ce dernier ne modifie la trajectoire que le long de la verticale.
Le point matériel acquiert donc une vitesse verticale qui entraîne l’existence d’une
force de frottement également verticale. Il suffit donc de considérer le mouvement
en projection sur l’axe Oz vertical ascendant :
dv
dt
+
k
m
v = −g
La solution de cette équation est la somme de la solution générale de l’équation homogène associée v H (t) et d’une solution particulière v P (t).
La résolution de l’équation homogène associée conduit à :
v H (t) = C exp
−
k
m
t
où C est une constante. Dans la suite, on pose t =
m
k , homogène à un temps.
La recherche d’une solution particulière est simple puisque le second membre est
constant :
v P (t) = −
m
k
g
La solution générale est donc :
v(t) = C exp
−
t
t
−
m
k
g
On détermine la constante à l’aide des conditions initiales à savoir
v(t = 0) = 0 = C −
m
k
g
soit C =
m
k
g et finalement on obtient :
v(t) =
m
k
g
exp
−
t
t
− 1
La position se déduit alors facilement par intégration par rapport au temps :
z = −
m
k
gt −
m
2
k 2 g exp
−
t
t
+ K
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Le principe fondamental de la dynamique s’écrit alors :
m − → a = −k − → v + m − → g
On suppose toujours que la vitesse initiale est nulle et que la masse est lâchée d’une
hauteur h par rapport au sol. Toutes les forces sont verticales puisqu’initialement il n’y
a que le poids et que ce dernier ne modifie la trajectoire que le long de la verticale.
Le point matériel acquiert donc une vitesse verticale qui entraîne l’existence d’une
force de frottement également verticale. Il suffit donc de considérer le mouvement
en projection sur l’axe Oz vertical ascendant :
dv
dt
+
k
m
v = −g
La solution de cette équation est la somme de la solution générale de l’équation homogène associée v H (t) et d’une solution particulière v P (t).
La résolution de l’équation homogène associée conduit à :
v H (t) = C exp
−
k
m
t
où C est une constante. Dans la suite, on pose t =
m
k , homogène à un temps.
La recherche d’une solution particulière est simple puisque le second membre est
constant :
v P (t) = −
m
k
g
La solution générale est donc :
v(t) = C exp
−
t
t
−
m
k
g
On détermine la constante à l’aide des conditions initiales à savoir
v(t = 0) = 0 = C −
m
k
g
soit C =
m
k
g et finalement on obtient :
v(t) =
m
k
g
exp
−
t
t
− 1
La position se déduit alors facilement par intégration par rapport au temps :
z = −
m
k
gt −
m
2
k 2 g exp
−
t
t
+ K
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