Chapitre 5 – Principes de la dynamique newtonienne
d) Parabole de sûreté
On cherche à déterminer l’ensemble des points (x 0 , z 0 ) qu’il est possible d’atteindre.
Ce sera le cas si l’équation :
z 0 = −
gx
2
0
2v 2
0 cos 2 a
+ x 0 tan a = −
gx
2
0
2v 2
0
1 + tan
2 a
+ x 0 tan a
admet des solutions
3 . On résout donc l’équation en tan a suivante :
gx
2
0
2v 2
0
tan
2 a − x 0 tan a +
gx
2
0
2v 2
0
+ z 0 = 0
Le discriminant de cette équation du second degré en tan a vaut
D = x
2
0 − 4
gx
2
0
2v 2
0
gx
2
0
2v 2
0
+ z 0
L’équation n’admet des solutions réelles (seules acceptables ici) que si : D 0 donc
si :
z 0
v
2
0
2g
−
gx
2
0
2v 2
0
Un point pourra donc être atteint uniquement s’il se trouve dans le plan (xOz) sous
la parabole d’équation :
z =
v
2
0
2g
−
gx
2
2v 2
0
Cette parabole est appelée parabole de sûreté. Elle relie les sommets de toutes les trajectoires obtenues en faisant varier l’angle de lancement pour une vitesse initiale de
module donné.
La figure suivante représente les trajectoires pour différents angles de tir avec une
vitesse initiale de 10 m.s −1 ainsi que la parabole de sûreté en trait plus épais.
Pour un point situé sous la parabole de sûreté, on aura deux solutions pour l’angle a :
tan a =
v
2
0 ±
v
4
0 − g 2
0 x 0 − 2gz 0 v 2
0
g
3 On utilise le fait que 1 + tan
2 a = 1 +
sin
2 a
cos 2 a
=
cos
2 a + sin
2 a
cos 2 a
=
1
cos 2 a
.
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