Chapitre 5 – Principes de la dynamique newtonienne
Soit par intégrations successives et en tenant compte des conditions initiales :
⎧
⎨
⎩
˙
x = v 0 cos a
˙
z = −gt + v 0 sin a
puis
⎧
⎨
⎩
x = x 0 + v 0 t cos a
z = −
1
2 gt
2 + v 0 t sin a + z 0
L’équation de la trajectoire s’obtient en éliminant le temps dans les équations horaires.
De l’expression de x en fonction du temps, on tire :
t =
x − x 0
v 0 cos a
Puis en reportant dans l’expression de z :
z = −
g
2v 2
0 cos 2 a
x
2 +
tan a +
gx 0
v 2
0 cos 2 a
x + z 0 − x 0 tan a −
gx
2
0
2v 2
0 cos 2 a
La trajectoire est donc une parabole.
Par la suite, on prendra x 0 = z 0 = 0 par souci de simplification. L’équation de la
trajectoire s’écrit alors :
z = −
g
2v 2
0 cos 2 a
x
2 + x tan a
➤ Remarque : On peut également intégrer l’équation vectorielle (5.1) et obtenir :
− → v = − → g t + − → v 0 puis
− →
OM =
1
2
− → g t
2 +
− → v 0 t +
− − →
OM 0 .
Cela permet de regrouper les deux cas et de ne projeter que pour étudier la trajectoire.
a) Hauteur maximale atteinte
Elle correspond au sommet de la parabole et s’obtient en résolvant l’équation :
dz
dx
=
−gx
v 2
0 cos 2 a
+ tan a = 0
soit
x m =
sin a cos a v
2
0
g
L’altitude maximale est alors :
z m =
sin
2 a v
2
0
2g
b) Portée du tir
La portée du tir correspond à l’endroit où le point matériel retombe sur le sol qu’on
suppose plan et horizontal (donc à l’altitude z = 0). On obtient l’expression de la
portée en résolvant l’équation :
z = −
g
2v 2
0 cos 2 a
x
2 + x tan a = x
tan a −
g
2v 2
0 cos 2 a
x
= 0
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