Chapitre 4 – Cinématique du point matériel
1. Il exerce un effort constant ce qui se traduit par une accélération constante a 1 jusqu’à
l’entrée E 1 du premier virage. Calculer le temps t E1 de passage en E 1 ainsi que la vitesse V E1
en fonction de a 1 et L.
2. Dans le premier virage, le cycliste a une accélération tangentielle (suivant − → u u ) constante
égale a 1 . Déterminer le temps t S1 de passage en S 1 ainsi que la vitesse v S1 en fonction de a 1 , L
et R.
3. a) De même, en considérant l’accélération tangentielle constante tout au long du premier
tour et égale à a 1 , déterminer les temps t E2 , t S2 et t D (après un tour), ainsi que les vitesses
correspondantes.
b) La course s’effectue sur quatre tours (1 km) mais on ne s’intéresse donc qu’au premier
effectué respectivement en T 1 = 18, 155 s (Temps du britannique Chris Hoy aux Championnats du monde de 2007). Déterminer la valeur de l’accélération a 1 ainsi que la vitesse atteinte
en D. La vitesse mesurée sur piste est d’environ 60 km.h
−1 que doit-on modifier dans le
modèle pour se rapprocher de la réalité ?
3.
La course poursuite
Quatre robots repérés par les point A, B, C et D sont initialement aux sommets d’un carré
de côté a, de centre O. Le robot A est programmé pour toujours se diriger vers B avec une
vitesse de norme constante v, de même B se dirige toujours vers C à vitesse v, C vers D et D
vers A avec la même vitesse. On s’intéresse au mouvement de A (les trois autres s’en déduisent
par rotation).
1. En utilisant des coordonnées polaires de centre O, déterminer les équations paramétriques
r(t) et u(t) du mouvement de A en fonction de t, v.
2. Déterminer l’instant d’arrivée en O.
4.
Mouvement de l’extrémité d’une barre, d’après ENAC 2003
Une barre rectiligne AB de longueur 2b se déplace dans le référentiel R repéré par
(O, −
→ u x , − → u y , − → u z ) de telle sorte que (figures 4.9 et 4.10) :
• son extrémité A se trouve sur le demi-axe positif Oz ;
• son extrémité B décrit le demi-cercle du plan (xOy) de centre I(0, b, 0) et de rayon b, à la
vitesse angulaire v constante et positive. À l’instant t = 0, B se trouve en O.
C
O
x
y
z
I
A
C
Figure 4.9
C
O
x
y
I
r
u
Figure 4.10
102
1. Il exerce un effort constant ce qui se traduit par une accélération constante a 1 jusqu’à
l’entrée E 1 du premier virage. Calculer le temps t E1 de passage en E 1 ainsi que la vitesse V E1
en fonction de a 1 et L.
2. Dans le premier virage, le cycliste a une accélération tangentielle (suivant − → u u ) constante
égale a 1 . Déterminer le temps t S1 de passage en S 1 ainsi que la vitesse v S1 en fonction de a 1 , L
et R.
3. a) De même, en considérant l’accélération tangentielle constante tout au long du premier
tour et égale à a 1 , déterminer les temps t E2 , t S2 et t D (après un tour), ainsi que les vitesses
correspondantes.
b) La course s’effectue sur quatre tours (1 km) mais on ne s’intéresse donc qu’au premier
effectué respectivement en T 1 = 18, 155 s (Temps du britannique Chris Hoy aux Championnats du monde de 2007). Déterminer la valeur de l’accélération a 1 ainsi que la vitesse atteinte
en D. La vitesse mesurée sur piste est d’environ 60 km.h
−1 que doit-on modifier dans le
modèle pour se rapprocher de la réalité ?
3.
La course poursuite
Quatre robots repérés par les point A, B, C et D sont initialement aux sommets d’un carré
de côté a, de centre O. Le robot A est programmé pour toujours se diriger vers B avec une
vitesse de norme constante v, de même B se dirige toujours vers C à vitesse v, C vers D et D
vers A avec la même vitesse. On s’intéresse au mouvement de A (les trois autres s’en déduisent
par rotation).
1. En utilisant des coordonnées polaires de centre O, déterminer les équations paramétriques
r(t) et u(t) du mouvement de A en fonction de t, v.
2. Déterminer l’instant d’arrivée en O.
4.
Mouvement de l’extrémité d’une barre, d’après ENAC 2003
Une barre rectiligne AB de longueur 2b se déplace dans le référentiel R repéré par
(O, −
→ u x , − → u y , − → u z ) de telle sorte que (figures 4.9 et 4.10) :
• son extrémité A se trouve sur le demi-axe positif Oz ;
• son extrémité B décrit le demi-cercle du plan (xOy) de centre I(0, b, 0) et de rayon b, à la
vitesse angulaire v constante et positive. À l’instant t = 0, B se trouve en O.
C
O
x
y
z
I
A
C
Figure 4.9
C
O
x
y
I
r
u
Figure 4.10
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