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Exemples de mouvements
5.4 Mouvement circulaire
a) Définition
Un mouvement est dit circulaire si le point M se déplace sur un cercle fixe de centre
O et de rayon R. La trajectoire est incluse dans le cercle.
Les coordonnées les plus adaptées à la description du mouvement sont naturellement
les coordonnées polaires. Dans cette base de projection, les équations horaires du
mouvement sont :
r = R = constante
u(t) = (Ox,
− − →
OM)
b) Expression de la vitesse
Dans ce cas, on a :
− − →
OM = R − → u r (t)
En dérivant, on obtient le vecteur vitesse :
− → v (M) = R ˙
u − → u u
On notera que le vecteur vitesse est orthoradial.
On appelle vitesse angulaire la quantité : v = ˙
u. Le module de la vitesse s’écrit alors :
v = Rv.
Dans le cas d’un mouvement uniforme, la vitesse angulaire v est constante puisque v
et R sont constants.
c) Expression de l’accélération
Le vecteur vitesse s’écrit :
− → v (M) = R ˙
u(t) − → u u (t)
En suivant la même démarche que pour obtenir l’expression de l’accélération en coordonnées polaires, on en déduit, par dérivation par rapport au temps, l’expression de
l’accélération (on rappelle que R est constant) :
− → a (M) =
d − → v (M)
dt
= R ¨
u − → u u + R ˙
u
d − → u u
dt
= R ¨
u − → u u + R ˙
u
d − → u u
du
du
dt
= R ¨
u − → u u − R ˙
u
2− → u r
On peut noter que dans le cas d’un mouvement circulaire uniforme les vecteurs − → a (M)
et − → v (M) sont orthogonaux, donc :
dv
dt
= 0
La vitesse angulaire v = ˙
u est constante.
➤ Remarque : Par conséquent, l’accélération est uniquement suivant − → u r . On retiendra qu’elle n’est pas nulle car le vecteur vitesse change de direction et n’est donc pas
constant.
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