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Expressions de la vitesse et de l’accélération
en notant ¨ x =
d
2 x
dt 2 et ¨ y =
d
2 y
dt 2 .
4.2 Coordonnées polaires
Le vecteur-position s’écrit :
− − →
OM = r(t) − → u r (t)
Le vecteur
− → ur évolue au cours du mouvement du point M.
On en déduit l’expression de la vitesse :
− → v (M) =
d
− − →
OM
dt
=
dr
dt
− → u r + r
d − → u r
dt
=
dr
dt
− → u r + r
d − → u r
du
du
dt
soit en utilisant les résultats vus au paragraphe 2.2 et notant ˙
r =
dr
dt
et ˙
u =
du
dt
:
− → v (M) = ˙
r − → u r + r ˙
u − → u u
On peut retrouver ces résultats géométriquement : il suffit de sommer les déplacements élémentaires correspondant aux variations de chacune des variables pendant un
intervalle de temps dt. On se reportera aux résultats obtenus précédemment pour les
expressions des déplacements élémentaires en coordonnées polaires.
Pour l’accélération, on dérive l’expression obtenue pour la vitesse :
− → a (M) =
d − → v (M)
dt
= ¨ r − → u r + ˙
r
d − → u r
dt
+ ˙
r ˙
u − → u u + r
d ˙
u
dt
− → u u + r ˙
u
d − → u u
dt
soit en introduisant les dérivées des vecteurs unitaires par rapport à l’angle de rotation :
− → a (M) = ¨ r − → u r + ˙
r
d − → u r
du
du
dt
+ ˙
r ˙
u − → u u + r ¨
u − → u u + r ˙
u
d − → u u
du
du
dt
= ¨ r − → u r + ˙
r − → u u ˙
u + ˙
r ˙
u − → u u + r ¨
u − → u u + r ˙
u
− − → u r
˙
u
et finalement :
− → a (M) =
¨ r − r ˙
u
2
− → u r +
2˙ r ˙
u + r ¨
u
− → u u
en notant ¨ r =
d
2 r
dt 2 et ¨
u =
d
2 u
dt 2 .
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