Chapitre 4 – Cinématique du point matériel
En revanche, si on envisage un autre point fixe O alors :
d
−−→
O M
dt
=
d
− − →
O O
dt
+
d
− − →
OM
dt
=
d
− − →
OM
dt
La vitesse d’un point M dans un référentiel R est indépendante du point fixe choisi
dans ce référentiel.
Comme la position, la vitesse évolue au cours du temps. On obtient l’analogue de
l’équation horaire (qui ne porte pas de nom) en considérant l’évolution du vecteur
− → v (t) au cours du temps.
On peut également s’intéresser à l’allure de la courbe décrite par le vecteur
vitesse en définissant l’hodographe. Il s’agit du lieu des points P tels qu’à chaque
instant :
− →
OP(t) = − → v (t)
3.4 Accélération
L’accélération est, par définition, la dérivée du vecteur-vitesse ou encore la dérivée
seconde du vecteur-position par rapport au temps :
− → a (M) =
d − → v (M)
dt
=
d
2 − − →
OM
dt 2
4. Expressions de la vitesse et de l’accélération
4.1 Coordonnées cartésiennes
On part du vecteur-position :
− − →
OM = x(t) − → u x + y(t) − → u y
et on dérive par rapport au temps sachant que les vecteurs − → u x et − → u y sont constants au
cours du temps.
Donc la vitesse s’écrit :
− → v (M) =
d
− − →
OM
dt
= ˙
x − → u x + ˙
y − → u y
en notant ˙
x =
dx
dt
et ˙
y =
dy
dt
.
De même pour l’accélération :
− → a (M) =
d − → v (M)
dt
= ¨ x − → u x + ¨ y − → u y
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En revanche, si on envisage un autre point fixe O alors :
d
−−→
O M
dt
=
d
− − →
O O
dt
+
d
− − →
OM
dt
=
d
− − →
OM
dt
La vitesse d’un point M dans un référentiel R est indépendante du point fixe choisi
dans ce référentiel.
Comme la position, la vitesse évolue au cours du temps. On obtient l’analogue de
l’équation horaire (qui ne porte pas de nom) en considérant l’évolution du vecteur
− → v (t) au cours du temps.
On peut également s’intéresser à l’allure de la courbe décrite par le vecteur
vitesse en définissant l’hodographe. Il s’agit du lieu des points P tels qu’à chaque
instant :
− →
OP(t) = − → v (t)
3.4 Accélération
L’accélération est, par définition, la dérivée du vecteur-vitesse ou encore la dérivée
seconde du vecteur-position par rapport au temps :
− → a (M) =
d − → v (M)
dt
=
d
2 − − →
OM
dt 2
4. Expressions de la vitesse et de l’accélération
4.1 Coordonnées cartésiennes
On part du vecteur-position :
− − →
OM = x(t) − → u x + y(t) − → u y
et on dérive par rapport au temps sachant que les vecteurs − → u x et − → u y sont constants au
cours du temps.
Donc la vitesse s’écrit :
− → v (M) =
d
− − →
OM
dt
= ˙
x − → u x + ˙
y − → u y
en notant ˙
x =
dx
dt
et ˙
y =
dy
dt
.
De même pour l’accélération :
− → a (M) =
d − → v (M)
dt
= ¨ x − → u x + ¨ y − → u y
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