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Systèmes de coordonnées planes
Tout vecteur − → w peut se décomposer sur cette base selon :
− → w = w r
− → u r + w u
− → u u
w r est appelé composante radiale et w u composante orthoradiale.
d) Déplacement élémentaire
Le déplacement élémentaire d’un point M de coordonnées (r, u) correspond à son
déplacement jusqu’au point M de coordonnées (r + dr, u + du). On a donc :
d
− − →
OM =
−−→
OM
−
− − →
OM =
−−→
MM
y
M
O − → u x
− → u y
dr
rdu
x
r
u
M
Figure 4.5 Déplacements
élémentaires en coordonnées polaires.
Les variables r, u sont indépendantes :
l’expression du déplacement élémentaire
est donc la somme des déplacements élémentaires correspondant à la variation
d’une seule variable.
• une variation dr de r correspond à un
mouvement le long de la droite (OM)
soit dr − → u r ,
• une variation du de u correspond à un
déplacement circulaire de centre O, de
rayon r et d’angle du donc de longueur
rdu suivant − → u u , soit rdu − → u u ,
Au final, le déplacement élémentaire
s’écrit :
d
− − →
OM = dr − → u r + rdu − → u u
e) Dérivées des vecteurs de base par rapport à u
Quand M(r, u) devient M (r + dr, u + du), les vecteurs − → u r et − → u u deviennent respectivement − → u r + d − → u r et − → u u + d − → u u .
Or les expressions de − → u r et − → u u établies dans la base fixe ( − → u x , −
→ u y ) ne dépendent que
de u :
⎧
⎨
⎩
− → u r = cos u − → u x + sin u − → u y
− → u u = − sin u − → u x + cos u − → u y
(4.1)
Les variations induites par le déplacement de M ne sont donc fonction que de u. En
effet, quand r varie de dr à u constant, la direction du vecteur
− − →
OM ne change pas, la
base locale non plus.
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