Chapitre 4 – Cinématique du point matériel
La valeur de u sera précisée dans l’intervalle [0 , 2p] en fonction des signes respectifs
de x et y qui sont ceux de cos u et sin u.
Ceci n’est possible qu’en dehors de l’origine O. En ce point, x = y = 0, donc la
tangente de l’angle u en O est une forme indéterminée. On notera que l’impossibilité
à exprimer la tangente de u à l’origine ne porte pas à conséquence : en ce point,
l’angle polaire n’est pas défini.
c) Base locale polaire
y
M
O − → u x
− → u y
− → u r
− → u u
x
r
u
Figure 4.4 Base locale des coordonnées
polaires.
Les bases locales correspondent à des
bases définies en chaque point M de
l’espace et adaptées au type de coordonnées choisies.
On va définir ici la base locale des
coordonnées polaires. Il s’agit de remplacer les vecteurs de base ( − → u x , −
→ u y )
adaptés aux coordonnées cartésiennes
par des vecteurs de base adaptés aux
coordonnées polaires.
On construit ainsi la base locale définie
par les deux vecteurs suivants :
• le premier vecteur noté − → u r est un
vecteur unitaire dont la direction et
le sens sont ceux du vecteur
− − →
OM,
• le second noté − → u u est un vecteur unitaire obtenu par rotation d’un angle +
p
2
dans
le plan à partir de − → u r .
Les vecteurs − → u r et − → u u dépendent du point M : la base est donc mobile. Les vecteurs
de base se déplacent en même temps que le point M, d’où la dénomination « locale »
donnée à cette base.
Le vecteur-position
− − →
OM s’écrit dans cette base :
− − →
OM = r − → u r .
On peut exprimer les vecteurs de cette base locale dans la base des coordonnées
cartésiennes : il suffit de projeter les vecteurs − → u r et − → u u sur les axes (Ox) et (Oy).
On obtient :
− → u r = cos u − → u x + sin u − → u y
− → u u = − sin u − → u x + cos u − → u y
90