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Systèmes de coordonnées planes
Ce résultat peut s’obtenir géométriquement en sommant les déplacements élémentaires liés à la variation d’une seule variable, les autres restant constantes.
Ceci est possible car les deux variables sont indépendantes et la base fixe.
Ainsi lorsque y (respectivement x) reste fixe, le déplacement élémentaire se limite à
d
− − →
OM = dx − → u x (respectivement à d
− − →
OM = dy − → u y ).
2.2 Une base mobile : les coordonnées polaires
a) Définition
y
M
O − → u x
− → u y
x
r
u
Figure 4.3 Coordonnées polaires.
La symétrie polaire consiste à privilégier
un point O fixe autour duquel tourne le
point M.
La position de M est alors définie par la
distance r du point M au point O. On
utilise en outre un angle orienté de rotation appelé angle polaire et noté habituellement u. Cet angle de rotation est défini
par rapport à un axe passant par O choisi
arbitrairement.
Les coordonnées polaires de M sont donc
(r, u).
Par définition, r est une distance et est
donc positif. On peut noter alors que pour décrire la totalité des points du plan,
l’angle u doit décrire un segment d’amplitude 2p. Habituellement on prend u dans
l’intervalle [0, 2p].
b) Lien avec les coordonnées cartésiennes
On peut relier les coordonnées polaires d’un point à ses coordonnées cartésiennes.
Il suffit pour cela de choisir l’axe (Ox) par exemple comme axe de référence pour
l’angle de rotation u et de projeter sur les axes (Ox) et (Oy) :
x = r cos u
y = r sin u
On peut inverser ces relations pour obtenir l’expression des coordonnées cylindriques
en fonction des coordonnées cartésiennes :
⎧
⎨
⎩
r =
x 2 + y 2
u = Arctan
y
x
[p]
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Systèmes de coordonnées planes
Ce résultat peut s’obtenir géométriquement en sommant les déplacements élémentaires liés à la variation d’une seule variable, les autres restant constantes.
Ceci est possible car les deux variables sont indépendantes et la base fixe.
Ainsi lorsque y (respectivement x) reste fixe, le déplacement élémentaire se limite à
d
− − →
OM = dx − → u x (respectivement à d
− − →
OM = dy − → u y ).
2.2 Une base mobile : les coordonnées polaires
a) Définition
y
M
O − → u x
− → u y
x
r
u
Figure 4.3 Coordonnées polaires.
La symétrie polaire consiste à privilégier
un point O fixe autour duquel tourne le
point M.
La position de M est alors définie par la
distance r du point M au point O. On
utilise en outre un angle orienté de rotation appelé angle polaire et noté habituellement u. Cet angle de rotation est défini
par rapport à un axe passant par O choisi
arbitrairement.
Les coordonnées polaires de M sont donc
(r, u).
Par définition, r est une distance et est
donc positif. On peut noter alors que pour décrire la totalité des points du plan,
l’angle u doit décrire un segment d’amplitude 2p. Habituellement on prend u dans
l’intervalle [0, 2p].
b) Lien avec les coordonnées cartésiennes
On peut relier les coordonnées polaires d’un point à ses coordonnées cartésiennes.
Il suffit pour cela de choisir l’axe (Ox) par exemple comme axe de référence pour
l’angle de rotation u et de projeter sur les axes (Ox) et (Oy) :
x = r cos u
y = r sin u
On peut inverser ces relations pour obtenir l’expression des coordonnées cylindriques
en fonction des coordonnées cartésiennes :
⎧
⎨
⎩
r =
x 2 + y 2
u = Arctan
y
x
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