Fiche 30 • La mécanique des fluides
Le mouvement du fluide est décrit par l’ensemble des trajectoires de chacune de ses particules.
Ceci nécessite de connaître la position et la vitesse de chaque particule fluide à l’instant t = 0.
c Représentation eulérienne : c’est la représentation utilisée en mécanique des fluides.
Dans un référentiel donné, le fluide est à chaque instant considéré dans son ensemble. En
chaque point de l’espace, l’évolution des grandeurs locales au cours du temps est étudiée.
Les coordonnées d’espace et le temps sont donc des variables indépendantes.
Cette représentation est une théorie de champ.
Le système est donc défini par des champs : le champ de pression
, le champ de température
, le champ de masse volumique
, le champ de vitesse
.
À l’instant t, les lignes de courant sont, par définition, les lignes de champ de vitesse. Pour les
visualiser, un nombre suffisant de gouttes de colorant est déposé dans le fluide et une photo
est prise pendant un temps de pause très bref.
Le long d’une ligne de courant, toutes les particules fluides sont différentes. Les lignes de
courant changent à chaque instant et sont différentes des trajectoires dans le cas général.
Lorsque l’écoulement est stationnaire (dans un référentiel donné), toutes les grandeurs ne
dépendent pas explicitement du temps. Par suite les lignes de courant sont les mêmes à tous
les instants. Les lignes de courant et les trajectoires définissent le même réseau de courbes.
e) Forces appliquées à une particule fluide
c Forces volumiques : ce sont des forces à longue portée, proportionnelles au volume de la
particule fluide, par exemple la gravité.
c Forces surfaciques : ce sont des forces de contact liées à l’interaction au niveau des surfaces
limitant les particules fluides ; elles sont proportionnelles à un élément de surface de la particule fluide. Par exemple, les forces normales sont les forces de pression, les forces tangentielles sont liées aux phénomènes de frottement (viscosité) dans le fluide.
c Les forces d’interaction à moyenne portée telles que les forces d’attraction newtonienne
entre particules fluides sont négligées.
f) Dérivée particulaire en représentation eulérienne
Les lois de la mécanique ou de la thermodynamique s’appliquent à des systèmes fermés. En
mécanique des fluides, le système utilisé est une particule fluide.
En représentation eulérienne, à l’instant t et à un instant t + dt, il y a deux particules fluides
différentes au point M. Il est donc nécessaire de suivre dans son mouvement la particule
fluide située au point M à l’instant t. Cela conduit à l’introduction de la dérivée particulaire,
définie, pour une grandeur scalaire
, par :
3. EN PRATIQUE…
Déterminons le champ d’accélération
en représentation eulérienne
La dérivée particulaire pour chaque composante de la vitesse
donne les composantes
du champ d’accélération qui s’écrit :
.
: dérivée temporelle liée au caractère non permanent de p
: dérivée convective liée au caractère non uniforme de p
r
prt (,)
Trt (,)
ρ(,)
rt
vrt (,)
prt
,
()
D
D
grad
p
tt
vp
=
∂
∂
+⋅
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
∂
∂
p
t
vp ⋅
(
)
grad
art (,)
vrt (,)
art
v
tt
vv
(,) ==
∂
∂
+⋅
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
D
D
grad
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Le mouvement du fluide est décrit par l’ensemble des trajectoires de chacune de ses particules.
Ceci nécessite de connaître la position et la vitesse de chaque particule fluide à l’instant t = 0.
c Représentation eulérienne : c’est la représentation utilisée en mécanique des fluides.
Dans un référentiel donné, le fluide est à chaque instant considéré dans son ensemble. En
chaque point de l’espace, l’évolution des grandeurs locales au cours du temps est étudiée.
Les coordonnées d’espace et le temps sont donc des variables indépendantes.
Cette représentation est une théorie de champ.
Le système est donc défini par des champs : le champ de pression
, le champ de température
, le champ de masse volumique
, le champ de vitesse
.
À l’instant t, les lignes de courant sont, par définition, les lignes de champ de vitesse. Pour les
visualiser, un nombre suffisant de gouttes de colorant est déposé dans le fluide et une photo
est prise pendant un temps de pause très bref.
Le long d’une ligne de courant, toutes les particules fluides sont différentes. Les lignes de
courant changent à chaque instant et sont différentes des trajectoires dans le cas général.
Lorsque l’écoulement est stationnaire (dans un référentiel donné), toutes les grandeurs ne
dépendent pas explicitement du temps. Par suite les lignes de courant sont les mêmes à tous
les instants. Les lignes de courant et les trajectoires définissent le même réseau de courbes.
e) Forces appliquées à une particule fluide
c Forces volumiques : ce sont des forces à longue portée, proportionnelles au volume de la
particule fluide, par exemple la gravité.
c Forces surfaciques : ce sont des forces de contact liées à l’interaction au niveau des surfaces
limitant les particules fluides ; elles sont proportionnelles à un élément de surface de la particule fluide. Par exemple, les forces normales sont les forces de pression, les forces tangentielles sont liées aux phénomènes de frottement (viscosité) dans le fluide.
c Les forces d’interaction à moyenne portée telles que les forces d’attraction newtonienne
entre particules fluides sont négligées.
f) Dérivée particulaire en représentation eulérienne
Les lois de la mécanique ou de la thermodynamique s’appliquent à des systèmes fermés. En
mécanique des fluides, le système utilisé est une particule fluide.
En représentation eulérienne, à l’instant t et à un instant t + dt, il y a deux particules fluides
différentes au point M. Il est donc nécessaire de suivre dans son mouvement la particule
fluide située au point M à l’instant t. Cela conduit à l’introduction de la dérivée particulaire,
définie, pour une grandeur scalaire
, par :
3. EN PRATIQUE…
Déterminons le champ d’accélération
en représentation eulérienne
La dérivée particulaire pour chaque composante de la vitesse
donne les composantes
du champ d’accélération qui s’écrit :
.
: dérivée temporelle liée au caractère non permanent de p
: dérivée convective liée au caractère non uniforme de p
r
prt (,)
Trt (,)
ρ(,)
rt
vrt (,)
prt
,
()
D
D
grad
p
tt
vp
=
∂
∂
+⋅
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
∂
∂
p
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vp ⋅
(
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grad
art (,)
vrt (,)
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