31 Statique des fluides
1. EN QUELQUES MOTS...
La statique des fluides est l’étude des fluides au repos sous l’effet de forces extérieures. Parmi
ses applications, citons le baromètre, le densitomètre, l’écluse, le siphon, la presse hydraulique.
2. CE QU’IL FAUT RETENIR…
Considérons un fluide au repos dans le référentiel terrestre supposé galiléen. Le fluide est
étudié en représentation eulérienne. Le champ de vitesse est nul en tout point.
a) Bilan des forces de pression sur une particule fluide cubique
Considérons une particule fluide cubique au point (x, y, z) de volume
. Le fluide étant
au repos, seules les forces surfaciques dues à la pression agissent sur la particule fluide.
Æ Suivant l’axe Oy : en utilisant les faces d’ordonnée y et y+ dy, d’aire
, on obtient :
.
Æ Suivant l’axe Oz : de même,
.
En effectuant un développement limité,
.
La résultante de la force de pression est :
.
Comme
est le volume de la particule fluide, la résultante des forces de pression
sur la particule fluide est équivalente à une force volumique :
.
Les forces de pression sont normales
aux six faces et dirigées vers l’intérieur
du cube.
Leur résultante est :
.
Æ Suivant l’axe Ox :
comporte deux
termes : la force de pression normale à la
face à l’abscisse x et la force de pression
normale à la face à l’abscisse x + dx,
l’aire de ces deux faces étant identique
et égale à dy dz,
.
ddd xyz
M
z
y
O
x
dd
dd
FF iF jF k
xyz
=++
d F x
dd
dd
Fp xyzp xx yz yz
x = ( ) −+ (
)
(
)
,,
,,
dd xz
dd
dd
Fp xyzp xy yz xz
y = ( ) −+ (
)
(
)
,,
,,
dd dd
Fp xyzp xyzzxy
z = ( ) −+ (
)
(
)
,,
,,
px xyzp xyz
p
x
x
+
(
) − (
) =
∂
∂
dd ,,
,,
dd dd
F
p
x
i
p
y
j
p
x
kx yz
=−
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
ddd d
xyz= V
dg rad d
Fp =−
V
94
1. EN QUELQUES MOTS...
La statique des fluides est l’étude des fluides au repos sous l’effet de forces extérieures. Parmi
ses applications, citons le baromètre, le densitomètre, l’écluse, le siphon, la presse hydraulique.
2. CE QU’IL FAUT RETENIR…
Considérons un fluide au repos dans le référentiel terrestre supposé galiléen. Le fluide est
étudié en représentation eulérienne. Le champ de vitesse est nul en tout point.
a) Bilan des forces de pression sur une particule fluide cubique
Considérons une particule fluide cubique au point (x, y, z) de volume
. Le fluide étant
au repos, seules les forces surfaciques dues à la pression agissent sur la particule fluide.
Æ Suivant l’axe Oy : en utilisant les faces d’ordonnée y et y+ dy, d’aire
, on obtient :
.
Æ Suivant l’axe Oz : de même,
.
En effectuant un développement limité,
.
La résultante de la force de pression est :
.
Comme
est le volume de la particule fluide, la résultante des forces de pression
sur la particule fluide est équivalente à une force volumique :
.
Les forces de pression sont normales
aux six faces et dirigées vers l’intérieur
du cube.
Leur résultante est :
.
Æ Suivant l’axe Ox :
comporte deux
termes : la force de pression normale à la
face à l’abscisse x et la force de pression
normale à la face à l’abscisse x + dx,
l’aire de ces deux faces étant identique
et égale à dy dz,
.
ddd xyz
M
z
y
O
x
dd
dd
FF iF jF k
xyz
=++
d F x
dd
dd
Fp xyzp xx yz yz
x = ( ) −+ (
)
(
)
,,
,,
dd xz
dd
dd
Fp xyzp xy yz xz
y = ( ) −+ (
)
(
)
,,
,,
dd dd
Fp xyzp xyzzxy
z = ( ) −+ (
)
(
)
,,
,,
px xyzp xyz
p
x
x
+
(
) − (
) =
∂
∂
dd ,,
,,
dd dd
F
p
x
i
p
y
j
p
x
kx yz
=−
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
ddd d
xyz= V
dg rad d
Fp =−
V
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