Fiche 31 • Statique des fluides
b) Relation fondamentale de la statique des fluides
Le fluide est soumis en chacun de ses points M à des forces volumiques
.
La particule fluide au point M, de volume dV, est soumise :
c à la résultante des forces de pression donnée par :
;
c aux forces volumiques :
où
est la densité volumique de forces.
Le système étant au repos,
, d’où la relation :
c) Statique des fluides dans le champ de pesanteur
La densité volumique de forces de pesanteur est donnée par :
, ρ étant la masse volumique et l’accélération de la pesanteur ; d’où
.
L’axe
étant vertical et orienté vers les altitudes croissantes, on a :
.
En projetant sur les 3 axes, cela donne :
⇒ la pression p est
indépendante de x et de y ; elle ne dépend que de z :
. Il en est de même pour ρ :
.
Æ Si la pression est connue en un point du fluide, elle est alors définie en tout point.
Æ Si dz > 0, alors dp < 0 ; la pression diminue quand l’altitude augmente.
Æ Au sein d’un fluide au repos, les isobares (surface d’égale pression) sont des plans horizontaux.
d) Statique des fluides incompressibles homogènes dans le champ de pesanteur
Considérons un fluide incompressible (liquide) à la température T 0 constante.
La masse volumique ρ est alors une constante ρ 0 .
Connaissant à l’altitude z = 0, la pression p(0) = p 0 , l’intégration donne :
.
Æ La pression augmente avec la profondeur. Ainsi, dans l’eau (ρ = 1 000 kg.m -3 ), pour une
profondeur de 10 m (z = – 10 m), la différence de pression est :
.
Æ La surface libre d’un liquide est horizontale (expérience des vases communicants).
Æ Les différences de pression peuvent être mesurées par des hauteurs équivalentes de liquide.
Æ Théorème de Pascal : Si une variation de pression est appliquée en un point du liquide, elle
se transmet intégralement à tous les points du liquide.
Æ L’interface entre deux liquides de masses volumiques différentes est horizontal. La pression est continue à l’interface des deux liquides.
p(M) : pression au point M (Pa)
: densité volumique de forces au point M (N.m -3 )
: pression à l’altitude z (Pa)
: masse volumique à l’altitude z (kg.m –3 )
g : accélération de la pesanteur (m.s –2 )
F V M
()
dg rad
d
FM
pM
() =−
() V
dM
Md
Ff VV () = () V
f V M
()
dM dM
FF V
() +
() = 0
grad MM
pf V
() = ()
f V M
()
fg V =ρ
g
grad
pg =ρ
Oz
gg k
=−
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
=−
p
x
p
y
p
z
g
00 ;
;
ρ
pz ()
ρz ()
dd pz
zgz
()
()
=−ρ
pz ()
ρz ()
pz
pg z
() =− 0 ρ
pz p
() −≅ 0
5
10 Pa
95
b) Relation fondamentale de la statique des fluides
Le fluide est soumis en chacun de ses points M à des forces volumiques
.
La particule fluide au point M, de volume dV, est soumise :
c à la résultante des forces de pression donnée par :
;
c aux forces volumiques :
où
est la densité volumique de forces.
Le système étant au repos,
, d’où la relation :
c) Statique des fluides dans le champ de pesanteur
La densité volumique de forces de pesanteur est donnée par :
, ρ étant la masse volumique et l’accélération de la pesanteur ; d’où
.
L’axe
étant vertical et orienté vers les altitudes croissantes, on a :
.
En projetant sur les 3 axes, cela donne :
⇒ la pression p est
indépendante de x et de y ; elle ne dépend que de z :
. Il en est de même pour ρ :
.
Æ Si la pression est connue en un point du fluide, elle est alors définie en tout point.
Æ Si dz > 0, alors dp < 0 ; la pression diminue quand l’altitude augmente.
Æ Au sein d’un fluide au repos, les isobares (surface d’égale pression) sont des plans horizontaux.
d) Statique des fluides incompressibles homogènes dans le champ de pesanteur
Considérons un fluide incompressible (liquide) à la température T 0 constante.
La masse volumique ρ est alors une constante ρ 0 .
Connaissant à l’altitude z = 0, la pression p(0) = p 0 , l’intégration donne :
.
Æ La pression augmente avec la profondeur. Ainsi, dans l’eau (ρ = 1 000 kg.m -3 ), pour une
profondeur de 10 m (z = – 10 m), la différence de pression est :
.
Æ La surface libre d’un liquide est horizontale (expérience des vases communicants).
Æ Les différences de pression peuvent être mesurées par des hauteurs équivalentes de liquide.
Æ Théorème de Pascal : Si une variation de pression est appliquée en un point du liquide, elle
se transmet intégralement à tous les points du liquide.
Æ L’interface entre deux liquides de masses volumiques différentes est horizontal. La pression est continue à l’interface des deux liquides.
p(M) : pression au point M (Pa)
: densité volumique de forces au point M (N.m -3 )
: pression à l’altitude z (Pa)
: masse volumique à l’altitude z (kg.m –3 )
g : accélération de la pesanteur (m.s –2 )
F V M
()
dg rad
d
FM
pM
() =−
() V
dM
Md
Ff VV () = () V
f V M
()
dM dM
FF V
() +
() = 0
grad MM
pf V
() = ()
f V M
()
fg V =ρ
g
grad
pg =ρ
Oz
gg k
=−
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
=−
p
x
p
y
p
z
g
00 ;
;
ρ
pz ()
ρz ()
dd pz
zgz
()
()
=−ρ
pz ()
ρz ()
pz
pg z
() =− 0 ρ
pz p
() −≅ 0
5
10 Pa
95