Fiche 29 • Conduction thermique
d) Régime permanent dans un système unidimensionnel : barre
En régime permanent, la température et la densité de courant thermique ne dépendent pas
du temps. Par suite, la solution recherchée de l’équation est de la forme : T(x).
Æ L’équation de la diffusion thermique devient :
; en intégrant ⇒
⇒
où B et D sont des constantes.
Le gradient de température est constant en régime permanent.
Æ À partir de la loi de Fourier, la densité de courant thermique est :
.
La densité de courant thermique est la même en tout point de la barre.
Introduisons le temps τ d de diffusion thermique et utilisons les variables sans dimension x’ et
t’ telles que
et
. L’équation de diffusion devient
.
Quand les deux dérivées partielles sont du même ordre de grandeur, cela donne τ d :
où D T est la diffusivité thermique donnée par :
(unité m 2 .s –1 ).
Pour une barre en aluminium de longueur 1 m avec c = 0,90 kJ.K -1 .kg -1 ,
ρ = 2,4.10 3 kg.m -3 , K T = 200 W.m -1 .K -1 : D T = 2,1 10 -4 m 2 .s -1 ⇒ τ d = 4 800 s = 1,33 h.
Cela donne une idée du temps nécessaire pour atteindre l’équilibre thermique (quelques t d ).
3. EN PRATIQUE…
c Considérons un récipient de forme cubique en polystyrène, muni d’un couvercle également
en polystyrène, de conductivité thermique K T = 0,01 W m -1 K -1 . Le contenu du récipient est
à la pression atmosphérique p 0 . La température extérieure est T ext = 313 K.
Initialement, le récipient contient un mélange eau – glace, la masse de glace étant m = 1 kg.
Chaque face du récipient a une épaisseur e = 1 cm et une surface A = 200 cm 2 .
Barre calorifugée en
régime permanent
Mise en contact de
la barre avec
un thermostat à T 0 en x = 0
deux thermostats, un à T 1 en x = 0 et
l’autre à T 2 en x = L (T 1 > T 2 )
Te mpérature
avec les conditions
aux limites
T(0) = T 0 et j th (L) = 0
⇒ D = T 0 et B = 0
⇔ T (x) = T 0
Te mpérature uniforme : c’est un
état d’équilibre
thermodynamique
T(0) = T 1 et T (L) = T 2
⇒ D = T 1 et
⇔
gradient de température constant
Densité de courant
thermique
j th (x) = 0
nulle en tout point de la barre
d
d
2
2
0
T
x
=
d
d
T
x
B
=
Tx Bx D
() =+
jx
K
T
x
KB
TT
th
d
d
() =−
=−
T 0
barre
0
x
L
barre
0
x
L
T1
T2
Tx Bx D
() =+
B
TT
L
=
−
21
Tx
TT
L
xT
() =
−
+
21
1
jx
K
TT
L
T
th () =−
−
21
xL x
= ' tt = τ d '
ρ c
T
t
K
T
Lx
d
T
∂
∂
=
∂
∂
τ
'
'
2
22
τ d
TT
cL
K
L
D
==
ρ
22
D
K
c
T
T
= ρ
90
d) Régime permanent dans un système unidimensionnel : barre
En régime permanent, la température et la densité de courant thermique ne dépendent pas
du temps. Par suite, la solution recherchée de l’équation est de la forme : T(x).
Æ L’équation de la diffusion thermique devient :
; en intégrant ⇒
⇒
où B et D sont des constantes.
Le gradient de température est constant en régime permanent.
Æ À partir de la loi de Fourier, la densité de courant thermique est :
.
La densité de courant thermique est la même en tout point de la barre.
Introduisons le temps τ d de diffusion thermique et utilisons les variables sans dimension x’ et
t’ telles que
et
. L’équation de diffusion devient
.
Quand les deux dérivées partielles sont du même ordre de grandeur, cela donne τ d :
où D T est la diffusivité thermique donnée par :
(unité m 2 .s –1 ).
Pour une barre en aluminium de longueur 1 m avec c = 0,90 kJ.K -1 .kg -1 ,
ρ = 2,4.10 3 kg.m -3 , K T = 200 W.m -1 .K -1 : D T = 2,1 10 -4 m 2 .s -1 ⇒ τ d = 4 800 s = 1,33 h.
Cela donne une idée du temps nécessaire pour atteindre l’équilibre thermique (quelques t d ).
3. EN PRATIQUE…
c Considérons un récipient de forme cubique en polystyrène, muni d’un couvercle également
en polystyrène, de conductivité thermique K T = 0,01 W m -1 K -1 . Le contenu du récipient est
à la pression atmosphérique p 0 . La température extérieure est T ext = 313 K.
Initialement, le récipient contient un mélange eau – glace, la masse de glace étant m = 1 kg.
Chaque face du récipient a une épaisseur e = 1 cm et une surface A = 200 cm 2 .
Barre calorifugée en
régime permanent
Mise en contact de
la barre avec
un thermostat à T 0 en x = 0
deux thermostats, un à T 1 en x = 0 et
l’autre à T 2 en x = L (T 1 > T 2 )
Te mpérature
avec les conditions
aux limites
T(0) = T 0 et j th (L) = 0
⇒ D = T 0 et B = 0
⇔ T (x) = T 0
Te mpérature uniforme : c’est un
état d’équilibre
thermodynamique
T(0) = T 1 et T (L) = T 2
⇒ D = T 1 et
⇔
gradient de température constant
Densité de courant
thermique
j th (x) = 0
nulle en tout point de la barre
d
d
2
2
0
T
x
=
d
d
T
x
B
=
Tx Bx D
() =+
jx
K
T
x
KB
TT
th
d
d
() =−
=−
T 0
barre
0
x
L
barre
0
x
L
T1
T2
Tx Bx D
() =+
B
TT
L
=
−
21
Tx
TT
L
xT
() =
−
+
21
1
jx
K
TT
L
T
th () =−
−
21
xL x
= ' tt = τ d '
ρ c
T
t
K
T
Lx
d
T
∂
∂
=
∂
∂
τ
'
'
2
22
τ d
TT
cL
K
L
D
==
ρ
22
D
K
c
T
T
= ρ
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