Fiche 29 • Conduction thermique
c) Équation de la diffusion thermique (ou équation de la chaleur)
Considérons une barre métallique isotrope et homogène, de section A, de masse volumique
ρ, de capacité thermique massique c et de conductivité thermique K T , supposées indépendants de la température. Cette barre est calorifugée sur son pourtour.
Le rayon de la barre étant petit devant sa longueur, nous utiliserons un modèle unidimensionnel dans la direction x.
c Le système utilisé est une tranche de barre comprise entre x et x + d x.
c Effectuons le bilan énergétique (premier principe) dans ce système entre t et t + dt :
Æ Le solide étant incompressible et indilatable,
où dT est la variation de température dans la tranche pendant la durée dt.
le travail des forces de pression est nul : δW = 0.
Æ Le pourtour de la barre étant calorifugé, le transfert thermique δQ est formé de deux termes :
ce qui donne :
.
La température étant uniforme dans le système,
; d’où
c Avec la loi de Fourier,
cela donne l’équation de diffusion thermique :
Æ Cette équation aux dérivées partielles est linéaire du second ordre par rapport à x et du
premier ordre par rapport au temps. Par suite, si T(x,t) est solution de cette équation, T(– x,t)
l’est aussi. Par contre, si T(x,t) est solution de cette équation, T(x, – t) ne l’est pas, ce qui traduit l’irréversibilité de l’évolution de la température dans le temps.
La conduction thermique est un phénomène irréversible.
Æ Pour résoudre cette équation, les conditions initiales T(x,0) et les conditions aux limites
sont nécessaires. Dans un modèle unidimensionnel, les conditions aux limites sont :
L’épaisseur dx est choisie petite par rapport aux variations macroscopiques suivant x, mais grande devant les
tailles microscopiques. Ainsi, les variables thermodynamiques peuvent être définies dans la tranche : en x et
à l’instant t, on définit la température T(x,t) et l’énergie
interne U(x,t).
La transformation correspond à l’évolution de la barre entre les instants t et t + dt.
: énergie entrante à l’abscisse x pendant dt
: énergie sortante à l’abscisse x + dx pendant dt
ρ : masse volumique (kg.m –3 )
c : capacité thermique massique (J. kg –1 .K –1 )
K T : conductivité thermique (W m –1 K –1 )
T(x,t) : température (en K) à l’abscisse x et à l’instant t
Condition aux limites
Expression
Surface en contact avec un thermostat à T 0
T empérature de la surface T 0
Surface calorifugée
Densité de courant thermique nulle en tout point de la surface
calorifugée
Contact entre deux matériaux
Egalité de la densité de courant thermique et égalité des
températures à l’interface
jth(x,t)
jth(x+dx,t)
x
x+dx
UxttUxtU xt
WQ
,,
,
+
(
) − () =() =+
dd
δδ
dd d
UxtA xc T
,
() = ρ
δδ
δ
QQ
Q
es
=−
δ Qj xt At
et h
=() ,d
δ Qj xx tAt
st h
=+ (
)
dd ,
ρ Ax cdTj xt jx xt At
dd
d
th
th
=
() −+ (
)
(
)
,,
dd T
T
t
t
=
∂
∂
ρ c
Txt
t
jx t
x
∂ ()
∂
=−
∂ ()
∂
,
,
th
jx tK
Txt
x
T
th ,,
() =
∂ ()
∂
ρ c
Txt
t
K
Txt
x
T
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∂
=
∂ ()
∂
,,
2
2
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c) Équation de la diffusion thermique (ou équation de la chaleur)
Considérons une barre métallique isotrope et homogène, de section A, de masse volumique
ρ, de capacité thermique massique c et de conductivité thermique K T , supposées indépendants de la température. Cette barre est calorifugée sur son pourtour.
Le rayon de la barre étant petit devant sa longueur, nous utiliserons un modèle unidimensionnel dans la direction x.
c Le système utilisé est une tranche de barre comprise entre x et x + d x.
c Effectuons le bilan énergétique (premier principe) dans ce système entre t et t + dt :
Æ Le solide étant incompressible et indilatable,
où dT est la variation de température dans la tranche pendant la durée dt.
le travail des forces de pression est nul : δW = 0.
Æ Le pourtour de la barre étant calorifugé, le transfert thermique δQ est formé de deux termes :
ce qui donne :
.
La température étant uniforme dans le système,
; d’où
c Avec la loi de Fourier,
cela donne l’équation de diffusion thermique :
Æ Cette équation aux dérivées partielles est linéaire du second ordre par rapport à x et du
premier ordre par rapport au temps. Par suite, si T(x,t) est solution de cette équation, T(– x,t)
l’est aussi. Par contre, si T(x,t) est solution de cette équation, T(x, – t) ne l’est pas, ce qui traduit l’irréversibilité de l’évolution de la température dans le temps.
La conduction thermique est un phénomène irréversible.
Æ Pour résoudre cette équation, les conditions initiales T(x,0) et les conditions aux limites
sont nécessaires. Dans un modèle unidimensionnel, les conditions aux limites sont :
L’épaisseur dx est choisie petite par rapport aux variations macroscopiques suivant x, mais grande devant les
tailles microscopiques. Ainsi, les variables thermodynamiques peuvent être définies dans la tranche : en x et
à l’instant t, on définit la température T(x,t) et l’énergie
interne U(x,t).
La transformation correspond à l’évolution de la barre entre les instants t et t + dt.
: énergie entrante à l’abscisse x pendant dt
: énergie sortante à l’abscisse x + dx pendant dt
ρ : masse volumique (kg.m –3 )
c : capacité thermique massique (J. kg –1 .K –1 )
K T : conductivité thermique (W m –1 K –1 )
T(x,t) : température (en K) à l’abscisse x et à l’instant t
Condition aux limites
Expression
Surface en contact avec un thermostat à T 0
T empérature de la surface T 0
Surface calorifugée
Densité de courant thermique nulle en tout point de la surface
calorifugée
Contact entre deux matériaux
Egalité de la densité de courant thermique et égalité des
températures à l’interface
jth(x,t)
jth(x+dx,t)
x
x+dx
UxttUxtU xt
WQ
,,
,
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δδ
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