Fiche 16 • Systèmes de n points matériels
Dans le référentiel barycentrique, la résultante des vecteurs quantité de mouvement appliquée au système S, notée , est nulle :
, car
.
e) Moment cinétique d’un système de n point matériels
Pour un système S, le moment cinétique total de S en un point O, dans son mouvement par
rapport à (R 0 ), est égal à la somme vectorielle des moments cinétiques en O de chacun des n
points matériels
:
.
f) Énergie cinétique d’un système de n points matériels
L’énergie cinétique totale d’un système S, notée
, est la somme des énergies cinétiques des
différents points
qui le composent :
.
Il est également possible de calculer l’énergie cinétique d’un système S, par rapport à un référentiel (R 0 ) à partir de l’énergie cinétique de S dans le référentiel barycentrique
, telle
que :
, où
est la masse totale du système S. Cette
relation porte le nom de 2 e théorème de Koenig.
g) Notion de forces extérieures et de forces intérieures à un système de points matériels
Soit un point matériel
élément d’un système S en mouvement par rapport à un référentiel
galiléen (R 0 ). Le point matériel
est soumis à 2 types de forces :
–d es forces dites extérieures, notées
, dues aux actions mécaniques exercées sur S par le
milieu extérieur à S ;
–d es forces dites intérieures, notées
, représentant les interactions entre l’ensemble des
points matériels constituant le système S et le point matériel
.
h) Théorème de la quantité de mouvement
Dans un référentiel galiléen (R 0 ), le théorème de la quantité de mouvement permet d’écrire
que la dérivée première par rapport au temps de la résultante des vecteurs quantité de mouvement, notée , appliquée à un système S, en mouvement par rapport à (R 0 ), est égale à la
résultante des forces extérieures agissant sur S, notée
:
Cette relation est très intéressante car elle montre que l’étude du mouvement d’un système S
en mouvement par rapport à un référentiel galiléen (R 0 ), se réduit à l’étude du mouvement de
son centre d’inertie assimilé à un point matériel.
La résultante des forces intérieures à S est nulle, car
. La résultante des
moments en un point O, telle que le point O soit fixe dans (R 0 ) au cours du temps, des
forces intérieures à S est nulle.
p S
*
p S
*
= 0
V
G/R G
* = 0
M i
L OM /R
MO MO M
0
() =∧
=∧
==
∑ ii
i
n
ii
i
mV
p
i
11 1
n
∑
E C
S
M i
Em V
Ci
i
n
i
S
M/ R 0
=
=
∑
1
2
2
1
R G
*
( )
Em Vm V
Ci
i
n
i
S
G/R
M/ R
0
G
*
=+
=
∑
1
2
1
2
2
2
1
m
M j
M j
F ext
F int
M j
FF ij
ji
→→ =−
p S
F ext
d
d
d
d
R
/R
R
ext
0
0
0
p
t
mV
t
F
S
G
=
(
) =
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Dans le référentiel barycentrique, la résultante des vecteurs quantité de mouvement appliquée au système S, notée , est nulle :
, car
.
e) Moment cinétique d’un système de n point matériels
Pour un système S, le moment cinétique total de S en un point O, dans son mouvement par
rapport à (R 0 ), est égal à la somme vectorielle des moments cinétiques en O de chacun des n
points matériels
:
.
f) Énergie cinétique d’un système de n points matériels
L’énergie cinétique totale d’un système S, notée
, est la somme des énergies cinétiques des
différents points
qui le composent :
.
Il est également possible de calculer l’énergie cinétique d’un système S, par rapport à un référentiel (R 0 ) à partir de l’énergie cinétique de S dans le référentiel barycentrique
, telle
que :
, où
est la masse totale du système S. Cette
relation porte le nom de 2 e théorème de Koenig.
g) Notion de forces extérieures et de forces intérieures à un système de points matériels
Soit un point matériel
élément d’un système S en mouvement par rapport à un référentiel
galiléen (R 0 ). Le point matériel
est soumis à 2 types de forces :
–d es forces dites extérieures, notées
, dues aux actions mécaniques exercées sur S par le
milieu extérieur à S ;
–d es forces dites intérieures, notées
, représentant les interactions entre l’ensemble des
points matériels constituant le système S et le point matériel
.
h) Théorème de la quantité de mouvement
Dans un référentiel galiléen (R 0 ), le théorème de la quantité de mouvement permet d’écrire
que la dérivée première par rapport au temps de la résultante des vecteurs quantité de mouvement, notée , appliquée à un système S, en mouvement par rapport à (R 0 ), est égale à la
résultante des forces extérieures agissant sur S, notée
:
Cette relation est très intéressante car elle montre que l’étude du mouvement d’un système S
en mouvement par rapport à un référentiel galiléen (R 0 ), se réduit à l’étude du mouvement de
son centre d’inertie assimilé à un point matériel.
La résultante des forces intérieures à S est nulle, car
. La résultante des
moments en un point O, telle que le point O soit fixe dans (R 0 ) au cours du temps, des
forces intérieures à S est nulle.
p S
*
p S
*
= 0
V
G/R G
* = 0
M i
L OM /R
MO MO M
0
() =∧
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==
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i
n
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mV
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E C
S
M i
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1
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R G
*
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=+
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M j
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F ext
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