16 Systèmes de n points matériels
1. EN QUELQUES MOTS…
Cette fiche traite des évolutions des lois de la mécanique précédemment décrites lorsque le
système étudié n’est plus un point matériel unique, mais un système de n point matériels
(avec i = 1,…n), chacun ayant une masse constante au cours du temps, notée m i (avec
i = 1,…n) et une vitesse
par rapport à un référentiel galiléen (R 0 ).
2. À RETENIR…
a) Système étudié
Dans ce qui suit, S désigne un système composé de n points matériels
, chacun de masse .
b) Centre d’inertie
On appelle centre d’inertie d’un système matériel constitué de n points matériels
, chacun
de masse , le barycentre, G, des positions des points matériels, tel que :
,
avec
(définition du barycentre) et = masse totale du système (
).
c) Référentiel du centre de masse (ou référentiel barycentrique)
Pour l’étude des systèmes de points matériels, il est commode d’introduire un nouveau référentiel, appelé référentiel du centre de masse ou référentiel barycentrique, qui permet, dans
certains cas, de simplifier les calculs.
Ce référentiel, généralement noté
, dont l’origine est le barycentre G du système S est
en mouvement de translation rectiligne uniforme par rapport au référentiel galiléen (R 0 ). Il
s’agit donc également d’un référentiel galiléen. La vitesse du centre de masse par rapport à
est nulle :
.
d) Quantité de mouvement d’un système de n points matériels
Pour un système S, la résultante des vecteurs quantité de mouvement appliquée à S, notée
, est égale à la somme vectorielle des quantités de mouvement de chacun des n points
matériels
:
.
Introduisons le barycentre G (ou centre d’inertie) des n points matériels
:
et
d’où :
, car
.
M i
V i
M/ R 0
M i
m i
M i
m i
mm ii
i
n
OG
OM
=
=
∑
1
m ii
i
n
GM
=
∑
=
1
0
m
m
m i
i
n
=
=
∑
1
R G
*
( )
R G
*
( )
V
G/R G
* = 0
p S
M i
p
mV
p
Si
i
n
i
i
n
i
== ∑∑
=
MR
=1
0
/
1
M i
p
mV
Si
i
n
i
= ∑ MR
=1
0
/
V
t
i
i
MR
R
0
0
dOM
d
/
=
p
t
mm t
Si
i
i
n
== ∑
d
d
OM
d
d
OG
=1
R
R
0
0
mm ii
i
n
OG
OM
=⇔
=
∑
1
pm V
S =
G/R 0
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