Fiche 15 • Oscillations mécaniques forcées
b) Expression de
et
Il est en général plus commode d’utiliser les notations des variables complexes, faisant intervenir le symbole imaginaire j, pour déterminer les expressions de
et de (Annexe C).
(2) s’écrit alors en notation complexe :
où
est le module du complexe
et (
) est l’argument du complexe
.
On obtient alors dans (1) :
( 3)
où
.
En identifiant respectivement module et argument de (3), on obtient :
et
.
En toute rigueur, il existe un régime transitoire (équation différentielle sans second
membre) que l’on observe avant l’établissement du régime permanent. Cependant la
contribution du régime transitoire sur la réponse mécanique totale du système est très
brève et rapidement négligeable par rapport au régime permanent. Pour cette raison,
nous nous intéresserons uniquement à la réponse mécanique du système dans le cadre
du régime permanent, également appelé régime forcé.
La solution générale de (1) :
est la partie réelle du complexe
. En utilisant ce complexe comme solution et en ne retenant que la
partie réelle dans le résultat, on facilite le calcul de
et de . Seule la partie réelle
a donc une signification physique.
X 0 ϕ
X 0
ϕ
xX
tx
Xe
tt
jt
()
()
()
=+ (
) ⇒=
00
+
écriture comple
cosωϕ
ωϕ
x x e
X 0
x t
()
ωϕ t +
x t
()
xX
t
t
() =+ (
)
0 cosωϕ
xX e
t
jt
()
()
= 0
+
ωϕ
X 0
ϕ
−+
+=
++
+
Xe
jXeX e
F
m
e
jt
jt
jt
00
0
ωα ωω
ωϕ
ωϕ
ωϕ
2
0
2
0
2
()
()
()
j j t
() ω
⇔− ++
⎡
⎣
⎤
⎦ =
+
Xe
j
F
m
e
jt
jt
0
()
()
ωϕ
ω
ωα ωω
2
0
2
0
2
⇔−+=
−
ωω
αω
ϕ
0
22
0
2
j
F
Xm
e
j
0
⇔− (
) +=
−
ωω
αω
φϕ
0
22
2
22
0
4
module
0
e
F
Xm
e
jj
tan φ
αω
ωω
=
−
2
0
22
X
F
m
0 =
−
(
) +
0
0
22
2
22
4
ωω
αω
t an ϕ
αω
ωω
=−
−
2
0
22
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b) Expression de
et
Il est en général plus commode d’utiliser les notations des variables complexes, faisant intervenir le symbole imaginaire j, pour déterminer les expressions de
et de (Annexe C).
(2) s’écrit alors en notation complexe :
où
est le module du complexe
et (
) est l’argument du complexe
.
On obtient alors dans (1) :
( 3)
où
.
En identifiant respectivement module et argument de (3), on obtient :
et
.
En toute rigueur, il existe un régime transitoire (équation différentielle sans second
membre) que l’on observe avant l’établissement du régime permanent. Cependant la
contribution du régime transitoire sur la réponse mécanique totale du système est très
brève et rapidement négligeable par rapport au régime permanent. Pour cette raison,
nous nous intéresserons uniquement à la réponse mécanique du système dans le cadre
du régime permanent, également appelé régime forcé.
La solution générale de (1) :
est la partie réelle du complexe
. En utilisant ce complexe comme solution et en ne retenant que la
partie réelle dans le résultat, on facilite le calcul de
et de . Seule la partie réelle
a donc une signification physique.
X 0 ϕ
X 0
ϕ
xX
tx
Xe
tt
jt
()
()
()
=+ (
) ⇒=
00
+
écriture comple
cosωϕ
ωϕ
x x e
X 0
x t
()
ωϕ t +
x t
()
xX
t
t
() =+ (
)
0 cosωϕ
xX e
t
jt
()
()
= 0
+
ωϕ
X 0
ϕ
−+
+=
++
+
Xe
jXeX e
F
m
e
jt
jt
jt
00
0
ωα ωω
ωϕ
ωϕ
ωϕ
2
0
2
0
2
()
()
()
j j t
() ω
⇔− ++
⎡
⎣
⎤
⎦ =
+
Xe
j
F
m
e
jt
jt
0
()
()
ωϕ
ω
ωα ωω
2
0
2
0
2
⇔−+=
−
ωω
αω
ϕ
0
22
0
2
j
F
Xm
e
j
0
⇔− (
) +=
−
ωω
αω
φϕ
0
22
2
22
0
4
module
0
e
F
Xm
e
jj
tan φ
αω
ωω
=
−
2
0
22
X
F
m
0 =
−
(
) +
0
0
22
2
22
4
ωω
αω
t an ϕ
αω
ωω
=−
−
2
0
22
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