Fiche 15 • Oscillations mécaniques forcées
–R éaction du support horizontal, notée . La réaction du support intègre à la fois la réaction normale du support, notée
et la réaction tangentielle correspondant à la force de
frottement visqueuse
.
–F orce excitatrice, notée
Æ Projetons les forces extérieures appliquées sur M dans la base cartésienne
:
c Poids :
c Force de rappel du ressort :
c Réaction du support :
c Force excitatrice :
Æ Appliquons le principe fondamental de la dynamique à la masse M :
Æ Projetons le PFD sur l’axe
(car le mouvement de la masse M sur l’axe
est nul) :
où et sont respectivement la vitesse et l’accélération de M par rapport à (R 0 ).
On pose :
, où
est l’amortissement () et
, où
est la pulsation
propre du système oscillant
On obtient alors :
(1)
(1) est une équation différentielle homogène du 2 e ordre en , avec second membre, à
coefficients constants, caractéristique d’un système oscillant forcé.
La solution de (1) dans le cas du régime permanent ou régime forcé, est de la forme :
(2)
où
et sont respectivement l’amplitude du mouvement et le déphasage de la réponse en
déplacement de la masse M par rapport à la force excitatrice.
R
R N
F V
F t
()
ij ,
( )
P
mg ij
= −
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
0
(,)
F
x
R
ij
=
−
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
k
0 (,)
R
F
R
V
N ij
=
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
(,)
F
Ft
t
ij
()
(,)
cos
=
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
0
0
ω
Fm a
extM /R 0
∑ =
PF
FR
Fm a
RV
N
R
t
+++
+=
=
()
M/R 0
O
x
O
y
−−
+=
⇔+
=
k xf xF
tm xm xf xx Ft
00 cosc os
ωω + k
x
x
2 α =
f
m
α
α > 0
ω 0
2
=
k
m
ω 0
k
m
>
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
0
xxx
F
m
t
++= 2
0
2
0
αω
ω
cos
x
xX
t
t
() =+ (
)
0 cosωϕ
X 0 ϕ
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