Fiche 14 • Oscillations mécaniques libres amorties
On suppose que l’amortissement
est suffisamment faible pour considérer que le mouvement de M est pseudo-périodique, alors < 0 et l’équation du mouvement de M est de la
forme :
avec
avec A et B des constantes réelles déterminées à partir des conditions initiales.
On exprime la masse de M en fonction de sa masse volumique , d’où :
.
L’amortissement s’écrit alors :
.
On obtient :
.
D’où :
,
soit environ 19 minutes.
Traçons l’évolution de l’amplitude des oscillations,
notée
, en fonction du temps. L’amplitude des
oscillations décroît en suivant une loi :
avec
l’amplitude maximum déterminée à partir
des conditions initiales.
On cherche le temps t au bout duquel l’amplitude des
oscillations diminue de moitié, c'est-à-dire pour quelle
valeur de t :
.
α
Δ
xA
tB
t
t
t
()
−
=+ (
)
e
cos
sin
α
ωωα
πη
=
6
2
r
m
ρ
mr =
4
3
3
π ρ
α
α
πη
πρ
η
ρ
= ⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
=
6
2
4
3
9
4
3
2
r
r
r
α = ( ) ×
=
−
−
−−
9
4
1810
5102 710
610
5
3
2
3
41
,.
., .
.s
O
t
x (t)
max e
t
A
α
−
() t
A
A t
()
AA
A
t
tt
()
−−
==
−
max
max
ee
α610
4
.
A max
A
A
t
() =
max
2
A
A
t
tt
max
.
max
.
.
ee
=L n
−−
−
−−
=⇔
=⇒
=
6106 10
4
44
2
1
2
1
610
21 1 1 55 s
43