Fiche 14 • Oscillations mécaniques libres amorties
Pour caractériser l’amortissement dans le régime pseudopériodique, on introduit le paramètre , appelé décrément logarithmique, et défini par :
où T est la
pseudopériode des oscillations.
3. EN PRATIQUE…
Le système masse-ressort étant amorti, à cause de la viscosité de l’air, l’équation différentielle
du mouvement de la masse M est de la forme :
(1)
avec
L’équation caractéristique de (1) s’écrit :
.
Le discriminant de l’équation caractéristique, noté , est :
.
Le paramètre réel est l’amortissement du système, il peut être interprété comme une mesure
de la rapidité avec laquelle les oscillations diminuent jusqu'à devenir nulles.
Cherchons à déterminer au bout de combien de
temps l’amplitude des oscillations d’un système
masse-ressort oscillant dans l’air diminue de moitié.
L’air est assimilé à un fluide visqueux de viscosité
= 1,8.10 -5 Pa.s (pour une température de 20 ˚C).
Le système masse-ressort est composé :
– d’une masse M, de masse m, assimilée à une
sphère homogène en aluminium de rayon r = 5 mm
et de masse volumique = 2,7.10 3 kg.m -3 ;
– d’un ressort de raideur
On considère que la force de frottement de l’air
sur la masse M est de la forme :
δ
δα ==
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
()
+
( )
T
x
x
t
tT
Ln
O
t
régime pseudo-périodique
x (t)
α
P
i
j
O
A
F
R
y
x
M
(R0)
F
V
η
ρ
k > 0
Fr V
V =−6 πη M/R 0
x
r
m
xx
++
=
6
0
2
πη
ω
0
ω 0
2
=
k
m
r
r
m
r
2
0
2
6
++
=
πη
ω
0
Δ
Δ=
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟ −
6
4
2
0
2
πη
ω
r
m
42