Fiche 14 • Oscillations mécaniques libres amorties
c Si
: régime apériodique
Alors
, on obtient deux racines réelles négatives :
La solution générale de l’équation différentielle dans le cas apériodique est de la forme :
avec A et B des constantes réelles déterminées à partir des conditions initiales.
c Si
: régime critique
Alors
, on obtient une racine réelle double :
La solution générale de l’équation différentielle dans le cas critique est de la forme :
avec A et B des constantes réelles déterminées à partir des conditions
initiales.
c Si
: régime pseudo-périodique.
Alors
, on obtient deux racines complexes conjuguées :
; où j est le symbole imaginaire (j 2 = –1).
En posant
(avec
) et
(pseudo-pulsation), la solution
générale de l’équation différentielle dans le cas pseudopériodique s’écrit :
avec A et B des constantes réelles déterminées à partir des conditions initiales.
Pour le régime apériodique l’effet du frottement
est très important et l’amortissement est grand.
La masse M met alors un temps très grand pour
atteindre sa position d’équilibre.
Le régime critique correspond au cas où la
masse M revient à sa position d’équilibre dans
la période de temps la plus courte
(application : amortisseur de voiture).
Δ > 0
f
m
> 2 0
ω
r
f
m
f
m
12
2
0
2
2
1
2
4
, =−
±
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟ − ω
xA
B
t
rt
rt
() = e+ e
12
O
t
régime apériodique
x (t)
Δ=0
f
m
=2 0
ω
rr
f
m
12
0
2
== −= − ω
xA tB
t
t
()
−
=+ (
) e 0
ω
O
t
régime critique
x (t)
Δ<0
f
m
<2 0
ω
r
f
m
j
f
m
12
2
0
2
2
1
2
4
, =−
±
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟ − ω
α=
f
m
2
α>0
ωω =
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟ −
1
2
4
2
0
2
f
m
xA
tB
t
t
t
()
−
=+ (
)
e
cos
sin
α
ωω
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