14 Oscillations mécaniques libres
amorties
1. EN QUELQUES MOTS…
On s’intéresse à présent aux oscillations mécaniques libres amorties, c’est-à-dire au cas où les
frottements (de type visqueux) ne sont pas négligés.
2. CE QU’IL FAUT RETENIR…
a) Équation du mouvement
Considérons le même problème que précédemment (oscillations libres non amorties) en
tenant compte en plus cette fois d’une force de frottement de type visqueux. On admet que la
force de frottement, notée , est proportionnelle à la vitesse de déplacement de la masse M
par rapport à (R 0 ) et orientée dans le sens inverse du déplacement de M telle que :
( est un coefficient constant strictement positif).
En appliquant le PFD à la masse M, on obtient :
(1)
La masse M se déplace uniquement sur l’axe
, la relation (1) s’écrit alors :
(1)
où et sont respectivement la vitesse et l’accélération de M par rapport à (R 0 ).
La projection de (1) sur l’axe
s’écrit :
car à l’équilibre :
(fiche 13)
On pose
, avec
On obtient alors :
(2)
(2) est une équation différentielle homogène du 2 e ordre en , sans second membre, à coefficients constants, caractéristique de l’oscillateur harmonique amorti.
La solution générale de (2) est de la forme :
où A et B sont des constantes
réelles et r 1 et r 2 les solutions de l’équation dite « caractéristique ».
L’équation caractéristique de (2) s’écrit :
.
En fonction du signe du discriminant de l’équation caractéristique, noté , tel que :
, il y a différents régimes d’amortissement à envisager.
F v
Ff V
V =− M/R 0
f
PF
Fm am gi
xx if Vm
RV
++=⇔
−+ () −=
M/RM /R
00
k Δ
a a M/R 0
O
x
⇔−
+
(
) −=
mg ix xi fxim xi
k Δ
x
x
O
x
mg
xx
fx mx mg
xx fx mx
−+ () −=
⇔−
−−=
=
kk
k
ΔΔ
0
−+
=
k Δ xm g0
⇔+
=
mx fx
x
+
k 0
ω 0
2
=
k
m
k
m
> 0
x
f
m
xx
++
=
ω 0
2
0
x
xA
B
t
rt
rt
() = e+ e
12
r
f
m
r
2
0
2
++= ω
0
Δ
Δ=
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟ −
f
m
2
0
2
4ω
40