Fiche 13 • Oscillations mécaniques libres non amorties
On obtient alors :
( 2)
(2) est une équation différentielle homogène du 2 ème ordre en , caractéristique de l’oscillateur harmonique non amorti.
La solution générale de (2), notée (E), est de la forme :
(E)
avec A e t B d es constantes réelles, déterminées à partir des conditions initiales :
où
correspond à l’amplitude du mouvement et
à la vitesse à
l’instant initial. On obtient alors :
En dérivant par rapport au temps les 2 membres de (E) on a :
donc
, puisque
L’équation du mouvement de M est donc :
(E)
repère la position de la masse M à un instant t quelconque. Le paramètre est la pulsation
propre du système pour un mouvement périodique de période T telle que :
3. EN PRATIQUE…
Cherchons à déterminer l’énergie mécanique d’un système oscillant non amorti. Dans le cas
des oscillations mécaniques non amorties, les forces de frottement sont négligées et l’énergie
mécanique
du système est constante.
Æ Énergie cinétique instantanée
L’énergie cinétique de la masse M à un instant t quelconque est :
.
On peut également écrire :
avec
.
La dérivée par rapport au temps de
s’écrit :
.
L’énergie cinétique instantanée de M à l’instant t est alors :
.
Les résultats obtenus dans le cas d’un ressort en position horizontale sont les mêmes
que ceux obtenus pour un ressort en position verticale.
xx += ω 0
2
0
x
xA
tB
t
t
()
coss in
=+ ωω 00
xX
x
t
t
(
)
(
)
=
=
=
=
⎧
⎨
⎪
⎩ ⎪
0
0
max
0
X max
x t
(
)
=0
xA X
t
(
)
=
==
0m ax
xA
tB
t
t
()
s in
cos
=−
+
ωω
ωω
00
00
x
BB
t
(
)
=
== ⇒=
00 0
0
ω
ω 0 0
≠
xX
t
t
()
max cos
=
ω 0
x t
()
ω 0
ω
π
0
2
==
Tm
k
E Meca
Em V
C =
1
2
2
M/R 0
Em
x
t
C
t
=
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
1
2
d
d R
2
0
()
x
Xt
t
()
cos
= 00 ω
x t
()
x
x
t
Xt
t
t
()
()
sin
== −
d
d R 0
00
0
ωω
Em Xt
C =
1
2
2
0
22
0
0 ωω sin
38