Fiche 13 • Oscillations mécaniques libres non amorties
c Équilibre de M
Les forces extérieures agissant sur la masse M sont :
–L e poids , tel que :
–L a force de rappel du ressort , telle que :
Le système masse-ressort étant à l’équilibre, les deux forces et
se compensent parfaitement et on peut écrire :
.
En projection sur l’axe
on obtient :
( 1)
c Oscillations de M
À un instant t quelconque, le ressort est étiré par rapport à sa position d’équilibre d’une quantité
et lâché sans vitesse initiale. Le ressort exerce une force de rappel
sur M et le
système masse-ressort oscille autour de la position d’équilibre
. On suppose que le ressort
travaille constamment en dessous de sa limite d’élasticité.
Mettons alors en équation le mouvement de M.
Æ Système étudié : masse M
Æ Référentiel et base de projection : le mouvement de la masse M est étudié par rapport au
référentiel fixe (R 0 ) d’origine O, muni du repère cartésien orthonormé direct
de base
, supposé galiléen. L’axe
est vertical descendant.
Æ Effectuons le bilan des forces extérieures :
–P oids de la masse M de masse m, noté
–F orce de rappel du ressort, notée
Æ Projetons les forces extérieures dans la base cartésienne
:
–P oids :
–F orce de rappel du ressort :
Le principe fondamental de la dynamique appliqué à la masse M s’écrit :
On note l’accélération verticale de la masse M par rapport à (R 0 ), donc sur l’axe
, d’où :
Projetons le PFD sur l’axe
(le mouvement de M sur l’axe
est nul) :
, car d’après (1) :
.
On pose :
(avec
).
P
Pm gi
=
F R
Fx i
R =− kΔ
P
F R
PF R
+= 0
O
i
−+
=
k Δ xm g 0
X max
F R
x eq
(,,) O
xy
(, )
ij
O
x
P
F R
()
ij ,
P
mg
ij
=
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
0 (,)
F
xx
R
ij
=
0
−+
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
(
)
(,)
kΔ
Fm a
extM /R 0
∑ =
PF
ma
R
+=
M/R 0
⇔−+= mg ix xi ma
k () Δ
M/R 0
x
O
x
⇔−+= mg ix xi mxi
k () Δ
O
x
O
y
mg
xx
mx
−+
=
k () Δ
⇔
−−
=
=
mg
xx mx
kk Δ
0
−+
=
k x
Δ
mg 0
⇔+= mx
x 0
k
⇔+
= 0
x m
x
k
ω 0
2
=
k
m
k
m
> 0
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