Fiche 12 • Forces centrales
Conclusion : si la force
(ou la résultante des forces) agissant sur le point M est « centrale »
alors le mouvement de M est plan.
3. EN PRATIQUE…
Établissons l’expression de la loi des aires, qui exprime le fait que lors d’un mouvement à
force centrale, les aires balayées par
pendant des intervalles de temps égaux sont égales.
Considérons un point matériel M, de masse m, soumis à l’action d’une force centrale . À un
instant t le point M se trouve en A où il est repéré par ses coordonnées polaires
. À un
instant
infiniment voisin, le point M se trouve en C où il est repéré par ses coordonnées
(avec
et
des variations élémentaires de r et de ). Considérons l’aire
élémentaire, , balayée par le vecteur
entre les instants t et
(aire hachurée sur la
figure ci-dessous), on a :
.
Au premier ordre, par rapport aux infiniment petits
et , la quantité
est négligeable devant
. Cela revient à négliger la surface
devant la surface
, ainsi :
.
En dérivant l’expression précédente par rapport au temps, on obtient :
.
On a montré que le moment cinétique d’un point M décrivant un mouvement de rotation
plan par rapport à O pouvait s’écrire :
(fiche 11). Dans le cas d’une force
centrale, le moment cinétique de M par rapport à O est constant au cours du
temps :
.
On peut alors écrire :
.
La quantité
e st appelée vitesse
aréolaire, elle correspond à la surface
balayée par le vecteur
par unité de
temps. Généralement, la vitesse aréolaire est notée A (unité le mètre carré
par seconde : m 2 .s –1 ).
Le résultat précédent montre que dans
un mouvement à force centrale, la
vitesse aréolaire est une constante,
appelée aussi constante des aires e t
égale à :
.
La loi des aires exprime le fait que lors
d’un mouvement à force centrale, les
aires balayées p ar
p endant des
intervalles de temps égaux sont égales.
F
OM
F
r ,θ
( )
tt +Δ
rr ,
++
(
)
dd θ
θ
dr
dθ
θ
dS
OM
tt +Δ
dd
d
OAB
ABC
SS
S
=+
⇒=
+
dd
dd
Sr rr r
1
2
1
2
θ
θ
dr dθ
1
2
rr dd θ
1
2
2
rd θ
d ABC
S
d OAB
S
dd Sr ≈
1
2
2
θ
d
d
S
t
r
=
1
2
2
θ
L O M
( ) = mr k
2
θ
LL O Mc ste
( ) == =
mr
2
θ
d
d
cste
S
t
r
m
==
=
1
22
2
θ
L
B
O
θ
θ
d
r
r
d
x
y
z
A
S
d
C
d
d
S
t
OM
A
L
= 2 m
OM
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Conclusion : si la force
(ou la résultante des forces) agissant sur le point M est « centrale »
alors le mouvement de M est plan.
3. EN PRATIQUE…
Établissons l’expression de la loi des aires, qui exprime le fait que lors d’un mouvement à
force centrale, les aires balayées par
pendant des intervalles de temps égaux sont égales.
Considérons un point matériel M, de masse m, soumis à l’action d’une force centrale . À un
instant t le point M se trouve en A où il est repéré par ses coordonnées polaires
. À un
instant
infiniment voisin, le point M se trouve en C où il est repéré par ses coordonnées
(avec
et
des variations élémentaires de r et de ). Considérons l’aire
élémentaire, , balayée par le vecteur
entre les instants t et
(aire hachurée sur la
figure ci-dessous), on a :
.
Au premier ordre, par rapport aux infiniment petits
et , la quantité
est négligeable devant
. Cela revient à négliger la surface
devant la surface
, ainsi :
.
En dérivant l’expression précédente par rapport au temps, on obtient :
.
On a montré que le moment cinétique d’un point M décrivant un mouvement de rotation
plan par rapport à O pouvait s’écrire :
(fiche 11). Dans le cas d’une force
centrale, le moment cinétique de M par rapport à O est constant au cours du
temps :
.
On peut alors écrire :
.
La quantité
e st appelée vitesse
aréolaire, elle correspond à la surface
balayée par le vecteur
par unité de
temps. Généralement, la vitesse aréolaire est notée A (unité le mètre carré
par seconde : m 2 .s –1 ).
Le résultat précédent montre que dans
un mouvement à force centrale, la
vitesse aréolaire est une constante,
appelée aussi constante des aires e t
égale à :
.
La loi des aires exprime le fait que lors
d’un mouvement à force centrale, les
aires balayées p ar
p endant des
intervalles de temps égaux sont égales.
F
OM
F
r ,θ
( )
tt +Δ
rr ,
++
(
)
dd θ
θ
dr
dθ
θ
dS
OM
tt +Δ
dd
d
OAB
ABC
SS
S
=+
⇒=
+
dd
dd
Sr rr r
1
2
1
2
θ
θ
dr dθ
1
2
rr dd θ
1
2
2
rd θ
d ABC
S
d OAB
S
dd Sr ≈
1
2
2
θ
d
d
S
t
r
=
1
2
2
θ
L O M
( ) = mr k
2
θ
LL O Mc ste
( ) == =
mr
2
θ
d
d
cste
S
t
r
m
==
=
1
22
2
θ
L
B
O
θ
θ
d
r
r
d
x
y
z
A
S
d
C
d
d
S
t
OM
A
L
= 2 m
OM
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