12 Forces centrales
1. EN QUELQUES MOTS…
L’étude du mouvement d’un point matériel M soumis à une force constamment dirigée vers
un point fixe est un problème récurrent en physique : mouvement d’un électron autour du
noyau d’un atome, trajectoire de la Terre autour du Soleil... Ces situations sont appelées
mouvement à forces centrales. Les résultats démontrés ici ont été observés par Kepler pour le
mouvement des planètes bien avant la formulation du théorème du moment cinétique et la
notion de force centrale (première et deuxième loi de Kepler).
2. CE QU’IL FAUT RETENIR…
a) Définitions
c Dans un référentiel galiléen, un point matériel M, de masse m, est soumis à une force centrale de la part d’un point O fixe (généralement pris comme origine du référentiel), si la
force exercée par O sur M est parallèle à
et de la forme :
. La force ne
dépend que de la distance r entre O et M. Si
, alors la force est dite attractive et si
alors la force est dite répulsive.
c Une force centrale dérive d’un potentiel, l’énergie mécanique d’un corps soumis à une
force centrale est donc conservée.
c Exemples de forces centrales :
–F orce de rappel d’un ressort :
, avec
la raideur du ressort (unité : N/m)
–F orce électrostatique créée par un noyau de charge + Ze (Z = nombre de protons), sur un
électron de charge –e, dans le vide :
(fiche 46)
b) Propriété des mouvements à forces centrales : mouvement plan
Soit un point matériel M, de masse m, soumis à l’action d’une force centrale de la part d’un
point O fixe (origine du référentiel (R 0 )). D’après le théorème du moment cinétique, on peut
écrire :
(car si est une force centrale alors est parallèle à
).
Le moment cinétique de M par rapport à
O est donc constant au cours du temps.
En posant :
alors, est constamment perpendiculaire à
et à
. Le point M est donc
astreint à se déplacer dans le plan
.
OM
Ff ru r
= ()
F
fr () > 0
fr () < 0
Fr u r
=− k
k>0
F
Z
r
u r
=−
1
4
e
0
πε
2
2
F
dM
d
OM
O
R 0
L ( ) =∧ =
t
F 0
F
F
OM
O
0
M/R
V
M
x
y
z
() M
O
L
LL O
M/R
MO Mc ste
0
( ) ==
∧= mV
L
OM
V M/R 0
OM, M/R 0
V
(
)
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1. EN QUELQUES MOTS…
L’étude du mouvement d’un point matériel M soumis à une force constamment dirigée vers
un point fixe est un problème récurrent en physique : mouvement d’un électron autour du
noyau d’un atome, trajectoire de la Terre autour du Soleil... Ces situations sont appelées
mouvement à forces centrales. Les résultats démontrés ici ont été observés par Kepler pour le
mouvement des planètes bien avant la formulation du théorème du moment cinétique et la
notion de force centrale (première et deuxième loi de Kepler).
2. CE QU’IL FAUT RETENIR…
a) Définitions
c Dans un référentiel galiléen, un point matériel M, de masse m, est soumis à une force centrale de la part d’un point O fixe (généralement pris comme origine du référentiel), si la
force exercée par O sur M est parallèle à
et de la forme :
. La force ne
dépend que de la distance r entre O et M. Si
, alors la force est dite attractive et si
alors la force est dite répulsive.
c Une force centrale dérive d’un potentiel, l’énergie mécanique d’un corps soumis à une
force centrale est donc conservée.
c Exemples de forces centrales :
–F orce de rappel d’un ressort :
, avec
la raideur du ressort (unité : N/m)
–F orce électrostatique créée par un noyau de charge + Ze (Z = nombre de protons), sur un
électron de charge –e, dans le vide :
(fiche 46)
b) Propriété des mouvements à forces centrales : mouvement plan
Soit un point matériel M, de masse m, soumis à l’action d’une force centrale de la part d’un
point O fixe (origine du référentiel (R 0 )). D’après le théorème du moment cinétique, on peut
écrire :
(car si est une force centrale alors est parallèle à
).
Le moment cinétique de M par rapport à
O est donc constant au cours du temps.
En posant :
alors, est constamment perpendiculaire à
et à
. Le point M est donc
astreint à se déplacer dans le plan
.
OM
Ff ru r
= ()
F
fr () > 0
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=− k
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F
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