Fiche 11 • Théorème du moment cinétique
Dans cette expression on reconnaît la quantité
qui est le moment d’inertie, noté , du
point matériel M de masse m situé à la distance r du point O fixe sur l’axe de rotation (Δ). On
peut alors écrire le moment cinétique de M en O en fonction du moment d’inertie :
c) Théorème du moment cinétique
La dérivée du moment cinétique d’un point matériel M, de masse m, en un point fixe O, par
rapport au temps relativement au référentiel fixe supposé galiléen (R 0 ) s’écrit :
Or d’après le PFD on a :
, d’où :
.
La quantité
représente la résultante des moments en O des forces extérieures
appliquées au point M, noté :. Le théorème du moment cinétique s’écrit alors :
Le théorème du moment cinétique permet d’écrire que dans un référentiel galiléen (R 0 ), la dérivée
première par rapport au temps du moment cinétique d’un point matériel M est égale au moment en O
(fixe dans (R 0 ) au cours du temps) de la résultante des forces extérieures agissant sur M.
Si la résultante des moments des forces agissant sur M est nulle alors le moment cinétique du
point M en O (O fixe) est constant : si
alors
. Pour un système
isolé, le moment cinétique d’un point M en O est une constante du mouvement, c’est-à-dire que
le moment cinétique de M en O (O fixe) se conserve au cours du mouvement.
: moment d’inertie de M par rapport à O fixe sur l’axe de rotation
(Δ), tel que :
: vitesse angulaire de M par rapport à O fixe sur l’axe de rotation (Δ)
mr
2
I
I
LI O M
( ) =θ k
I
I = mr
2
θ
dM
d
d
d
OM
O
R
M/R R
0
0
0
L ( ) =∧ (
)
tt
mV
⇔
() =∧
=
dM
d
dOM
d
O
R
R
M/R
car
0
0
0
M/
L
tt
mV
V
0
R R 0
M/R 0
0
OM
d
M/R
∧=
+∧
(
mV
mV
0
)
) =∧
d
OM
R
M/R
0
0
t
ma
Fm a
extM /R 0
∑ =
dM
d
OM
O
R
ext
0
L ( ) =∧ ∑
t
F
OM
ext
∧ ∑ F
M
F ext O
/( )
∑
dM
d
OM
O
R
ext
O
0
ext
L
M
( ) =∧
=
∑∑
( )
t
F
F /
M
F ext O
/( )
∑
= 0
L O Mc ste
( ) =
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