Fiche 9 • Energie potentielle
c Cas de la force de rappel d’un ressort
Soit un ressort de masse négligeable et de longueur à vide fixé à un support en A. Une
masse M est accrochée à l’extrémité B du ressort. A un instant t quelconque, le ressort est
étiré et la longueur du ressort est .
Une force de rappel, notée , est alors exercée par le ressort telle que :
,
avec
la raideur du ressort.
Le travail élémentaire de la force de rappel est :
Étant donnée la géométrie du problème, le déplacement élémentaire
a une seule composante suivant l’axe
telle que :
, car le déplacement élémentaire de la force de
rappel, , pour une variation infinitésimale de longueur suivant
est noté .
Donc :
(car
)
On pose :
qui est l’allongement relatif du ressort,
d’où :
On peut également écrire :
, où
est la différentielle
de la fonction
.
On a donc
.
Par intégration on obtient :
.
L’énergie potentielle
du ressort, est appelée énergie potentielle élastique.
La fonction énergie potentielle est définie à une constante additive près et ne dépend que de
l’allongement relatif du ressort
. La constante d’intégration est déterminée à partir des
conditions aux limites. On peut choisir de prendre l’énergie potentielle élastique nulle lorsque l’allongement relatif du ressort est nul,
= 0, d’où cste = 0 et
.
l 0
l
y
j
A
B
B
A
M
0
l
l
R
F
O
F R
Fy R =
0
− (
)
k ll -
k > 0
d () = . d =
W
d
FF
lE
RR
P
−
d
l
O
y
d= d
lj l
F R
l
O
y
d l
d () =
d
d
00
W
kk ll
ll ll
Fj
j
R
−= −
(
)
(
)
-- .
jj . = 1
Δ ll l
=− (
)
0
d ()
d
Wl l
Fk R =− ( )
Δ
d ()
1
2
Wl d
Fk R =−
( )
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
Δ
2
d
l
1
2
k Δ
( )
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
2
1
2
k Δl
( )
2
dd
l
E
1
2
P =
( )
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
k Δ
2
E
k
P =
1
2
cste
Δl
( ) +
2
E P
Δl
Δl
Ek P =
1
2
Δ l
( )
2
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