Fiche 9 • Energie potentielle
3. EN PRATIQUE…
Pour prouver qu’une force dérive d’un potentiel
, montrons qu’il faut calculer son travail élémentaire,
, et étudier si celui-ci peut se mettre sous la forme de la différentielle
d’une fonction. Cette fonction est alors l’énergie potentielle du système étudié ; elle est définie à une constante réelle additive près.
c Cas du poids
Soit un point matériel M, de masse m constante au cours du temps, effectuant un déplacement élémentaire sous l’action de son poids dans un espace fixe muni d’un repère orthonormé direct galiléen
de base
. L’axe
est choisi vertical ascendant.
Le déplacement élémentaire de M exprimé dans la base cartésienne
s ’écrit :
.
Le poids du point matériel M de masse m s ’écrit dans cette même base
:
Le travail élémentaire du poids est alors :
, où
représente la différentielle de la fonction
, où m
et g sont constants au cours du temps.
On a donc
.
Par intégration on obtient :
.
L’énergie potentielle
de M est alors appelée
énergie potentielle de pesanteur.
La fonction énergie potentielle est définie à une
constante additive près et ne dépend que de l’altitude, z, du point M. Il est possible de déterminer
cette constante à partir des conditions aux limites.
Par exemple, on peut choisir l’énergie potentielle
de pesanteur nulle pour z = 0, d’où cste = 0 et
.
F
E P
d ()
W
F
d
l
P
O, ,,
xyz
(
)
ijk ,,
(
)
O
z
ijk ,,
(
)
d= d
+ d + d
lx iy jz k
ijk ,,
(
)
P mg
mg k
== −
d ()
. d
d
Wd
PP lm gz
mgz
== −= − ( )
d mgz
( )
mgz
dd Em gz
P = ( )
Em gz
P =
+ cste
E P
E
mgz
P =
i
j
k
x
y
z
O
M
gg k
=−
P
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