Fiche 9 • Energie potentielle
b) Équivalence entre la forme différentielle et la forme locale de l’énergie potentielle
Soit une force conservative, on note
le travail élémentaire de cette force, tel que :
.
Supposons que l’on ait :
où
est la différentielle totale de , tell que :
on a alors :
d’où :
Le produit scalaire de 2 vecteurs est nul si et seulement si l’un des 2 vecteurs est nul ou si les
deux vecteurs sont orthogonaux. Comme
varie au cours du temps, on a
, ce qui
implique :
Ces deux expressions sont totalement équivalentes (si
est indépendant du temps).
La première forme est appelée forme locale de l’énergie potentielle et la seconde forme différentielle de l’énergie potentielle. Le terme local indique que le résultat de l’opérateur gradient sur la fonction scalaire énergie potentielle peut être différent en chaque point de
l’espace ; cela introduit alors la notion de champ (ici champ de forces), c'est-à-dire qu’à chaque point de l’espace est associé un vecteur force , défini par :
. La forme différentielle indique que l’énergie potentielle est égale à l’opposé du travail élémentaire de la
force conservative :
.
c) Travail d’une force dérivant d’un potentiel
Soit un point matériel M soumis à une force dérivant d’un potentiel . Le travail de
sur
le trajet AB est indépendant du chemin suivi (car dérive d’un potentiel), donc :
, où
et
sont les énergies potentielles du point M respectivement en A et en B.
Le travail d’une force conservative le long d’un trajet donné est égal à la diminution d’énergie
potentielle le long de ce trajet.
Soit un point matériel M soumis à une force
dérivant d’un potentiel
.
Le travail de
sur un trajet fermé (c’est-à-dire partant de A et revenant vers A) est
nul :
.
Le signe indique que l’intégrale s’effectue sur un trajet fermé.
F
d ()
W
F
d () = . d
W
FF l
d () = . d
Wd
FF lE P
=−
dE P
E P
dE
E
x
x
E
y
y
E
z
z
P
PPP
=
ddd
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
d EE
lFl
PP = grad . d
. d
−=
FE
l
P
+ grad
. d = 0
(
)
d
l
d
l ≠ 0
FE
Fl
E
PP
= grad
. d
−⇔
=−d
Ex yz
P ,,
(
)
F
FE P
= grad
−
dEF l
P =−
. d
F
E P
F
F
W
d
()
.
FF lE
EE
PP
P
AB
A
B
A
B
=
d=
A
B
→
∫∫ −= ( ) − ( ) E P A
( ) E P B
( )
F
Ex yz
P ,,
(
)
F
W () =
dAA
FF lE
E
PP
.
∫
=−= ( )
( ) 0
∫
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b) Équivalence entre la forme différentielle et la forme locale de l’énergie potentielle
Soit une force conservative, on note
le travail élémentaire de cette force, tel que :
.
Supposons que l’on ait :
où
est la différentielle totale de , tell que :
on a alors :
d’où :
Le produit scalaire de 2 vecteurs est nul si et seulement si l’un des 2 vecteurs est nul ou si les
deux vecteurs sont orthogonaux. Comme
varie au cours du temps, on a
, ce qui
implique :
Ces deux expressions sont totalement équivalentes (si
est indépendant du temps).
La première forme est appelée forme locale de l’énergie potentielle et la seconde forme différentielle de l’énergie potentielle. Le terme local indique que le résultat de l’opérateur gradient sur la fonction scalaire énergie potentielle peut être différent en chaque point de
l’espace ; cela introduit alors la notion de champ (ici champ de forces), c'est-à-dire qu’à chaque point de l’espace est associé un vecteur force , défini par :
. La forme différentielle indique que l’énergie potentielle est égale à l’opposé du travail élémentaire de la
force conservative :
.
c) Travail d’une force dérivant d’un potentiel
Soit un point matériel M soumis à une force dérivant d’un potentiel . Le travail de
sur
le trajet AB est indépendant du chemin suivi (car dérive d’un potentiel), donc :
, où
et
sont les énergies potentielles du point M respectivement en A et en B.
Le travail d’une force conservative le long d’un trajet donné est égal à la diminution d’énergie
potentielle le long de ce trajet.
Soit un point matériel M soumis à une force
dérivant d’un potentiel
.
Le travail de
sur un trajet fermé (c’est-à-dire partant de A et revenant vers A) est
nul :
.
Le signe indique que l’intégrale s’effectue sur un trajet fermé.
F
d ()
W
F
d () = . d
W
FF l
d () = . d
Wd
FF lE P
=−
dE P
E P
dE
E
x
x
E
y
y
E
z
z
P
PPP
=
ddd
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
d EE
lFl
PP = grad . d
. d
−=
FE
l
P
+ grad
. d = 0
(
)
d
l
d
l ≠ 0
FE
Fl
E
PP
= grad
. d
−⇔
=−d
Ex yz
P ,,
(
)
F
FE P
= grad
−
dEF l
P =−
. d
F
E P
F
F
W
d
()
.
FF lE
EE
PP
P
AB
A
B
A
B
=
d=
A
B
→
∫∫ −= ( ) − ( ) E P A
( ) E P B
( )
F
Ex yz
P ,,
(
)
F
W () =
dAA
FF lE
E
PP
.
∫
=−= ( )
( ) 0
∫
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