Fiche 7 • Travail et puissance d’une force
Æ Projetons les forces extérieures dans la base polaire
liée à M :
c Poids :
c Tension du fil :
Æ Écrivons le travail des forces extérieures agissant sur M :
–T ravail de la force entre A et B :
La force et le déplacement élémentaire sont orthogonaux sur le trajet orienté AB, donc
la force ne travaille pas sur AB, d’où
–T ravail du poids entre A et B :
Pour des raisons pratiques, le vecteur déplacement élémentaire est exprimé en coordonnées
polaires :
car il n’y a pas de déplacement suivant .
Produit scalaire
donc :
.
Dans un premier temps, les positions des points A et B sont repérées par rapport au paramètre
angulaire
, soit respectivement
et
pour A et pour B. Le travail du poids entre A et
B s’écrit alors :
.
D’après la figure on peut écrire :
et
, on a alors dans l’expression du
travail du poids précédemment déterminée :
.
Le travail de est :
, il s’agit d’un travail positif, donc moteur, car les
altitudes h B et h A sont positives et h B > h A .
uu r , θ
(
)
P
mg
mg
uu r
=
cos
sin
θ
θ
−
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
(,) θ
F
F
T
T
uu r
=
0
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
(,) θ
F T
W ()
.
FF l
TT
AB
A
B
d
→
= ∫
F T
d
l
F T
W ()
.
FF l
TT
AB
A
B
d
→
== ∫
0
P
W ()
.
PP l
AB
A
B
d
→
= ∫
d= d
+ d
= d
lr ur ur u
r
θθ θθ
u r
Pl
mg
mg
r
mg
.
.
d=
cos
sin
0
d
θ
θ
θ
−
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟ =− r r sin d
θθ
W ()
.
PP lm gr
AB
A
B
d
sin d
A
B
→
== −
∫∫
θθ
θ
θ
θ t
()
θ A
θ B
W()
Pm gr
AB
sin d
A
B
→
=− ∫ θθ
θ
θ
⇔=
[ ] =− [
]
→
W ()
cos
Pm gr
mgr
AB
BA
cosc os
A
B
θθ
θ
θ
θ
cos B
B
θ=
h
r
cos A
A
θ=
h
r
W ()
Pm gr
h
r
h
r
AB
BA
→
=−
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
P
W ()
Pm gh
h
AB
BA
→
=− [
]
23