Fiche 7 • Travail et puissance d’une force
F
Il est plus commode d’écrire le travail élémentaire de la force de manière analytique. Considérons un repère cartésien muni d’une base orthonormée directe
. La projection de
la force
sur la base
s’écrit :
(où , ,
sont respectivement les composantes de sur les axes
,
,
). De la même manière, l’expression du
vecteur déplacement élémentaire
e n coordonnées cartésiennes s’écrit :
(où , ,
sont respectivement les composantes de
sur les axes
,
,
). Le travail élémentaire de est alors :
c) Travail total d’une force le long d’un trajet fini
Considérons un point matériel M qui sous l’action de la force (qui peut varier pendant le
déplacement), décrit un trajet orienté fini sur la courbe (C) entre la position A et la position B.
Compte tenu de l’expression analytique du travail élémentaire de , l’expression analytique
du travail total de le long du trajet AB s’écrit :
Suivant les symétries des problèmes étudié*s et l’expression de la force , il n’est pas toujours pertinent d’exprimer le vecteur déplacement élémentaire, , en coordonnées cartésiennes. Il est parfois plus commode de l’exprimer en coordonnées cylindriques (ou polaires) ou
sphériques :
c Coordonnées cylindriques (ou polaires) :
c Coordonnées sphériques :
Néanmoins, le calcul du produit scalaire de 2 vecteurs nécessite bien évidemment que leurs
projections soient exprimées dans la même base.
d) Puissance d’une force
La puissance d’une force exprime le travail effectué par la force par unité de temps. Soit
le travail élémentaire accompli par la force pendant l’intervalle de temps .
L’expression analytique du travail de est surtout utilisée dans les cas où la force n’est pas
constante au cours du déplacement envisagé.
Le travail total de la force
entre les
points A et B est alors la somme des travaux élémentaires de entre A et B telle
que :
: force entre A et
B (N)
: déplacement élémentaire sur (C) (m)
F
ijk ,,
(
)
F
ijk ,,
(
)
FF iF jF k
xyz
=++
F x F y F z
F
O
x O
y O
z
d
l
d= d
+ d + d
lx iy jz
d x d y d z
d
l
O
x O
y O
z
F
d () = . d = d + d + d
W
FF lF xFyF z
xyz
F
F
F
F
A
B
l
d
( C )
M
M
M
M
F
F
F
l
d
l
d
l
d
F
F
W ()
.
FF l
AB
A
B
d
→
= ∫
F
d
l
F
F
W ()
..
FF lF xFyF z
xyz
AB
A
B
A
B
dd + d + d
→
== (
)
∫∫
F
d
l
d=d
+ d
+
coordonnées polaires
lr ur u
r
θ θ
dz
k
d = d
+ d
+ sin d
lr ur
ur
u
r
θθ θϕ ϕ
d ()
W
F
F
d t
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F
Il est plus commode d’écrire le travail élémentaire de la force de manière analytique. Considérons un repère cartésien muni d’une base orthonormée directe
. La projection de
la force
sur la base
s’écrit :
(où , ,
sont respectivement les composantes de sur les axes
,
,
). De la même manière, l’expression du
vecteur déplacement élémentaire
e n coordonnées cartésiennes s’écrit :
(où , ,
sont respectivement les composantes de
sur les axes
,
,
). Le travail élémentaire de est alors :
c) Travail total d’une force le long d’un trajet fini
Considérons un point matériel M qui sous l’action de la force (qui peut varier pendant le
déplacement), décrit un trajet orienté fini sur la courbe (C) entre la position A et la position B.
Compte tenu de l’expression analytique du travail élémentaire de , l’expression analytique
du travail total de le long du trajet AB s’écrit :
Suivant les symétries des problèmes étudié*s et l’expression de la force , il n’est pas toujours pertinent d’exprimer le vecteur déplacement élémentaire, , en coordonnées cartésiennes. Il est parfois plus commode de l’exprimer en coordonnées cylindriques (ou polaires) ou
sphériques :
c Coordonnées cylindriques (ou polaires) :
c Coordonnées sphériques :
Néanmoins, le calcul du produit scalaire de 2 vecteurs nécessite bien évidemment que leurs
projections soient exprimées dans la même base.
d) Puissance d’une force
La puissance d’une force exprime le travail effectué par la force par unité de temps. Soit
le travail élémentaire accompli par la force pendant l’intervalle de temps .
L’expression analytique du travail de est surtout utilisée dans les cas où la force n’est pas
constante au cours du déplacement envisagé.
Le travail total de la force
entre les
points A et B est alors la somme des travaux élémentaires de entre A et B telle
que :
: force entre A et
B (N)
: déplacement élémentaire sur (C) (m)
F
ijk ,,
(
)
F
ijk ,,
(
)
FF iF jF k
xyz
=++
F x F y F z
F
O
x O
y O
z
d
l
d= d
+ d + d
lx iy jz
d x d y d z
d
l
O
x O
y O
z
F
d () = . d = d + d + d
W
FF lF xFyF z
xyz
F
F
F
F
A
B
l
d
( C )
M
M
M
M
F
F
F
l
d
l
d
l
d
F
F
W ()
.
FF l
AB
A
B
d
→
= ∫
F
d
l
F
F
W ()
..
FF lF xFyF z
xyz
AB
A
B
A
B
dd + d + d
→
== (
)
∫∫
F
d
l
d=d
+ d
+
coordonnées polaires
lr ur u
r
θ θ
dz
k
d = d
+ d
+ sin d
lr ur
ur
u
r
θθ θϕ ϕ
d ()
W
F
F
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