C Notation complexe
Un signal est périodique lorsque son amplitude se reproduit au cours du temps. Celui le plus
utilisé est sinusoïdal, comme la tension délivrée par une prise de courant. Afin de faciliter les
résolutions mathématiques, un signal sinusoïdal peut s’écrire en représentation complexe.
1. A) LE SIGNAL SINUSOÏDAL
f : fréquence en Hertz (Hz), nombre de périodes en une seconde
ϕ : phase à l’origine en radian (rad), comprise entre
et
, c’est la phase à l’origine du
signal.
B. LA NOTATION COMPLEXE
À
correspond le signal complexe
obtenu en ajoutant au signal réel le terme « imaginaire »
.
Or
.
Le nombre complexe
est appelé amplitude complexe du signal.
Un signal x (t) est sinusoïdal lorsque l’amplitude varie
sinusoïdalement. Il peut alors s’écrire sous forme
mathématique :
.
X max : amplitude du signal. Elle s’exprime dans la
même unité que le signal. Le signal oscille donc entre
– X max et + X max
T : Période en seconde (s), durée d’une oscillation :
x (t + T) = x (t).
ω : pulsation du signal en rad.s –1 . Elle est liée à la
période T par :
Signal réel
Représentation complexe
avec
La représentation complexe n’a pas de sens physique. Seule la partie réelle en a une.
x tX
t
( ) =+ (
)
max cos ωϕ
ω
π
π
==
2
2
T
f
x (t)
Xmax
- - Xmax
Xmax cos(ϕ)
T
t
−π
+π
x tX
t
( ) =+ (
)
max cos ωϕ
x tX
tt
( ) =+ (
) ++ (
)
⎡
⎣
max coss in
ωϕ
ωϕ
j
j Xt max sin ωϕ +
(
)
x tX
tt
Xe
t
( ) =+ (
) ++ (
)
⎡
⎣
⎤
⎦ ==
+
( )
max
max
coss in
ωϕ
ωϕ
ωϕ
j
j
X X
ee
t
max
jj ϕω
xtX
t
( ) =+ (
)
max cos ωϕ
x tX e
t
( ) =
j ω
XX
e
= max
jϕ
xx ()
(( ))
tt =ℜe
X
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