Fiche C • Notation complexe
c Rappels : Un nombre complexe , désigné par un trait sous son expression, s’écrit :
Ce nombre peut également s’écrire :
–E xponentielle complexe
:
;
;
;
.
c La notation complexe permet de calculer facilement les dérivées et les intégrales :
C) LA REPRÉSENTATION DE FRESNEL
Celle-ci correspond à la représentation du signal complexe dans le plan complexe.
La grandeur physique étudiée
est la projection de ce vecteur sur l’axe
.
La représentation de Fresnel est utilisée pour visualiser facilement le déphasage de différents
signaux de même pulsation. L’ensemble des vecteurs tournant à la pulsation sans se déformer, les amplitudes complexes sont représentées dans la construction de Fresnel.
Considérons le signal
et sa dérivée.
En utilisant les notations complexes :
d’amplitude complexe
. Sa dérivée
est :
d’amplitude complexe
a : partie réelle de .
b : partie imaginaire de .
j, nombre complexe tel que
: module de , noté
: argument de , noté
Opération
Écriture temporelle
Écriture complexe
Dérivation de x (t)
Intégration de x (t)
Soit le signal
.
Le signal complexe associé est :
Dans le plan complexe, ce signal complexe est
représenté par un vecteur dont :
– la norme est égale à l’amplitude A du signal
– l’angle par rapport à l’axe
est égal à la phase
du signal
.
Ce vecteur tourne avec une vitesse angulaire .
z
za b
=+ j
z
az =ℜ ( )
e
z
bz =ℑ ( )
m
j
2
1
=−
zz e
zz
z
=
=+
j
j
ϕ
ϕϕ
coss in
z
z
z
za b
=+
22
ϕ
z
arg z
()
ϕ=
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
Arc
b
a
tan
e
jϕ
ϕ
ϕ
=⇒
=
01 e
j
ϕπ
ππ
ϕ
=⇒
=+
=−
e
j
j
coss in
1
ϕ
ππ
π
ϕ
=⇒
=+
=
22
2
e
j
jj
coss in
ϕ
ππ
π
ϕ
=− ⇒=
−
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟ +−
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟ =− =
22
2
1
ej
j
j j
coss in
d
d
d
d
x
x
t
t
t
t
( ) =ℜ
( )
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
e
d
d
j
x
x
t
t
t
( ) =
( )
ω
xx tt
tt
( )
∫
=ℜ
( )
∫
[
]
dd e
x
x
tt
t
( )
∫
=
( )
d
j ω
x ( t )
( x )
A
ω t + ϕ
+
Im(x)
x tA
t
( ) =+ (
)
cos ωϕ
x tA
tA
t
( ) =+ (
) ++ (
)
coss in
ωϕ
ωϕ
j
ℜ e
ωϕ t +
(
)
ω
x t
( )
ℜ e
ω
x tA
t
( )
(
)
=+ cos ωϕ
x tA e
t
( ) =
+
(
)
j ωϕ
X = Ae
jϕ
z tA e
xt
t
jt
( )
=
=
+
(
)
d
d
() j ω
ωϕ
Z ==
+
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
jA eA e
ω
ϕ ω
ϕ
π
j
j
2
255
c Rappels : Un nombre complexe , désigné par un trait sous son expression, s’écrit :
Ce nombre peut également s’écrire :
–E xponentielle complexe
:
;
;
;
.
c La notation complexe permet de calculer facilement les dérivées et les intégrales :
C) LA REPRÉSENTATION DE FRESNEL
Celle-ci correspond à la représentation du signal complexe dans le plan complexe.
La grandeur physique étudiée
est la projection de ce vecteur sur l’axe
.
La représentation de Fresnel est utilisée pour visualiser facilement le déphasage de différents
signaux de même pulsation. L’ensemble des vecteurs tournant à la pulsation sans se déformer, les amplitudes complexes sont représentées dans la construction de Fresnel.
Considérons le signal
et sa dérivée.
En utilisant les notations complexes :
d’amplitude complexe
. Sa dérivée
est :
d’amplitude complexe
a : partie réelle de .
b : partie imaginaire de .
j, nombre complexe tel que
: module de , noté
: argument de , noté
Opération
Écriture temporelle
Écriture complexe
Dérivation de x (t)
Intégration de x (t)
Soit le signal
.
Le signal complexe associé est :
Dans le plan complexe, ce signal complexe est
représenté par un vecteur dont :
– la norme est égale à l’amplitude A du signal
– l’angle par rapport à l’axe
est égal à la phase
du signal
.
Ce vecteur tourne avec une vitesse angulaire .
z
za b
=+ j
z
az =ℜ ( )
e
z
bz =ℑ ( )
m
j
2
1
=−
zz e
zz
z
=
=+
j
j
ϕ
ϕϕ
coss in
z
z
z
za b
=+
22
ϕ
z
arg z
()
ϕ=
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
Arc
b
a
tan
e
jϕ
ϕ
ϕ
=⇒
=
01 e
j
ϕπ
ππ
ϕ
=⇒
=+
=−
e
j
j
coss in
1
ϕ
ππ
π
ϕ
=⇒
=+
=
22
2
e
j
jj
coss in
ϕ
ππ
π
ϕ
=− ⇒=
−
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟ +−
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟ =− =
22
2
1
ej
j
j j
coss in
d
d
d
d
x
x
t
t
t
t
( ) =ℜ
( )
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
e
d
d
j
x
x
t
t
t
( ) =
( )
ω
xx tt
tt
( )
∫
=ℜ
( )
∫
[
]
dd e
x
x
tt
t
( )
∫
=
( )
d
j ω
x ( t )
( x )
A
ω t + ϕ
+
Im(x)
x tA
t
( ) =+ (
)
cos ωϕ
x tA
tA
t
( ) =+ (
) ++ (
)
coss in
ωϕ
ωϕ
j
ℜ e
ωϕ t +
(
)
ω
x t
( )
ℜ e
ω
x tA
t
( )
(
)
=+ cos ωϕ
x tA e
t
( ) =
+
(
)
j ωϕ
X = Ae
jϕ
z tA e
xt
t
jt
( )
=
=
+
(
)
d
d
() j ω
ωϕ
Z ==
+
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
jA eA e
ω
ϕ ω
ϕ
π
j
j
2
255