Fiche B • Éléments d’analyse vectorielle
c Opérateur gradient : le gradient est un opérateur, noté (nabla), que l’on peut appliquer à
une fonction. Ses composantes dans les différents systèmes de coordonnées sont :
B. ROTATIONNEL ET DIVERGENCE
c Divergence : la divergence d’une fonction vectorielle est le produit scalaire de l’opérateur nabla et du vecteur :
Par exemple en coordonnées cartésiennes, on obtient :
c Rotationnel : Le rotationnel d’une fonction vectorielle est le produit vectoriel de l’opérateur nabla et du vecteur :
Par exemple en coordonnées cartésiennes, on obtient :
C. THÉORÈME DE STOKES
Considérons un contour fermé (C) et une surface fermée S s’appuyant sur ce contour. La circulation de tout vecteur sur le contour s’écrit sous la forme :
D. THÉORÈME DE GREEN-OSTROGRADSKI
Considérons une surface fermée S délimitant un volume V. Le flux de tout vecteur à travers
la surface S peut s’écrire sous la forme :
Coordonnées cylindriques
Coordonnées cylindriques
Coordonnées sphériques
: divergence de la fonction vectorielle ; c’est un scalaire
: opérateur nabla
: divergence de la fonction vectorielle ; c’est un vecteur
: opérateur nabla
∇
∇
∂
∂
∂
∂
∂
∂
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
=
x
y
z
∇
∂
∂
∂
∂
∂
∂
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
=
r
r
z
1
θ
∇
∂
∂
∂
∂
∂
∂
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
=
sin
r
r
r
1
1
θ
θϕ
A
A
div AA
=∇.
div A
A
∇
div A
A
x
A
y
A
z
x
y
z
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
A
A
rot
AA =∇∧
rot
A
A
∇
rot
A
A
y
A
z
i
A
z
A
x
z
y
xz
=
∂
∂
−
∂
∂
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ +
∂
∂
−
∂
∂
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ ⎟ +
∂
∂
−
∂
∂
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
j
A
x
A
y
k
y
x
A
Al
rotA S
S
.. d
d
() C
∫∫ ∫
=
A
AdSd iv AdV
S
.
∫∫
∫∫∫
=
V
253