B Éléments d’analyse vectorielle
Le gradient, le rotationnel et la divergence constituent les trois principaux opérateurs différentiels du premier ordre. En physique, ils sont particulièrement utilisés en électromagnétisme et en mécanique des fluides. Leur définition est introduite ainsi que l’énoncé des
théorèmes de Stokes et de Green-Ostrogradski.
A. DIFFÉRENTIELLE TOTALE ET OPÉRATEUR GRADIENT
c Différentielle totale : Soit
une fonction scalaire de trois variables admettant des
dérivées partielles, donc différentiable. Pour y et z fixés (maintenus constants au cours du
temps), une variation infiniment petite de x, notée dx, impose une variation de , notée
, telle que :
.
est appelée différentielle partielle de par rapport à x. Le
terme
est la dérivée partielle de par rapport à x. Par analogie, pour une variation infiniment petite de y et de z, on obtient :
et
.
On appelle différentielle totale de , notée
ou plus simplement , la somme des
trois variations de par rapport à x, y et z :
c Gradient : Dans la base cartésienne orthonormée directe
, la différentielle totale
apparaît comme le produit scalaire entre le vecteur déplacement élémentaire
de composantes
et un vecteur, nommé gradient de , noté
, et défini par :
Dans les systèmes de coordonnées cylindriques et sphériques, le gradient s’écrit :
: gradient de la fonction scalaire
;
c’est un vecteur
: différentielle totale de la fonction scalaire
; c’est un scalaire.
Coordonnées cylindriques (r, θ, z)
Coordonnées sphériques (r, θ, ϕ)
fx ,y,z
( )
f
df x
df x
f
x
x
=
∂
∂
d df x
f
∂
∂
f
x
f
df
f
y
y
y =
∂
∂
d
df
f
z
z
z =
∂
∂
d
f
dfxyz ,,
(
)
d f
f
dd fxyz
f
f
x
x
f
y
y
f
z
z
,,
(
) ==
∂
∂
∂
∂
∂
∂
d +
d +
d
i, j,k
( )
df
d
l
d, d , d
xyz i, j,k
(
) ( )
f
grad
f
grad
f
f
x
i
f
y
j
f
z
k
=
+
+
∂
∂
∂
∂
∂
∂
d ff l
f
x
x
f
y
y
f
z
z
==
∂
∂
∂
∂
∂
∂
grad d
d +
d +
d
.
grad
f
f
df
f
OM
= ru +zk
r
d
d
d
lr u ru
z k
r
=d
++ θ θ
grad
f
f
r
u
r
f u
f
z
k
r
=
++
∂
∂
∂
∂
∂
∂
1
θ
θ
d ff l
f
r
r
ff
z
z
==
∂
∂
∂
∂
∂
∂
grad d
d +
d +
d
.
θ
θ
OM
= ru r
d
d
sin d
lr u ruru
r
=d
++ θθ ϕ
θϕ
grad
sin
f
f
r
u
r
f u
r
f
r
=
++
∂
∂
∂
∂
∂
∂
11
θθ
θ
ϕ ϕ
ϕ
u
dff l
f
r
r
ff
==
∂
∂
∂
∂
∂
∂
grad dd +
d +
d
.
θ
θ
ϕ
ϕ
252
Le gradient, le rotationnel et la divergence constituent les trois principaux opérateurs différentiels du premier ordre. En physique, ils sont particulièrement utilisés en électromagnétisme et en mécanique des fluides. Leur définition est introduite ainsi que l’énoncé des
théorèmes de Stokes et de Green-Ostrogradski.
A. DIFFÉRENTIELLE TOTALE ET OPÉRATEUR GRADIENT
c Différentielle totale : Soit
une fonction scalaire de trois variables admettant des
dérivées partielles, donc différentiable. Pour y et z fixés (maintenus constants au cours du
temps), une variation infiniment petite de x, notée dx, impose une variation de , notée
, telle que :
.
est appelée différentielle partielle de par rapport à x. Le
terme
est la dérivée partielle de par rapport à x. Par analogie, pour une variation infiniment petite de y et de z, on obtient :
et
.
On appelle différentielle totale de , notée
ou plus simplement , la somme des
trois variations de par rapport à x, y et z :
c Gradient : Dans la base cartésienne orthonormée directe
, la différentielle totale
apparaît comme le produit scalaire entre le vecteur déplacement élémentaire
de composantes
et un vecteur, nommé gradient de , noté
, et défini par :
Dans les systèmes de coordonnées cylindriques et sphériques, le gradient s’écrit :
: gradient de la fonction scalaire
;
c’est un vecteur
: différentielle totale de la fonction scalaire
; c’est un scalaire.
Coordonnées cylindriques (r, θ, z)
Coordonnées sphériques (r, θ, ϕ)
fx ,y,z
( )
f
df x
df x
f
x
x
=
∂
∂
d df x
f
∂
∂
f
x
f
df
f
y
y
y =
∂
∂
d
df
f
z
z
z =
∂
∂
d
f
dfxyz ,,
(
)
d f
f
dd fxyz
f
f
x
x
f
y
y
f
z
z
,,
(
) ==
∂
∂
∂
∂
∂
∂
d +
d +
d
i, j,k
( )
df
d
l
d, d , d
xyz i, j,k
(
) ( )
f
grad
f
grad
f
f
x
i
f
y
j
f
z
k
=
+
+
∂
∂
∂
∂
∂
∂
d ff l
f
x
x
f
y
y
f
z
z
==
∂
∂
∂
∂
∂
∂
grad d
d +
d +
d
.
grad
f
f
df
f
OM
= ru +zk
r
d
d
d
lr u ru
z k
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=d
++ θ θ
grad
f
f
r
u
r
f u
f
z
k
r
=
++
∂
∂
∂
∂
∂
∂
1
θ
θ
d ff l
f
r
r
ff
z
z
==
∂
∂
∂
∂
∂
∂
grad d
d +
d +
d
.
θ
θ
OM
= ru r
d
d
sin d
lr u ruru
r
=d
++ θθ ϕ
θϕ
grad
sin
f
f
r
u
r
f u
r
f
r
=
++
∂
∂
∂
∂
∂
∂
11
θθ
θ
ϕ ϕ
ϕ
u
dff l
f
r
r
ff
==
∂
∂
∂
∂
∂
∂
grad dd +
d +
d
.
θ
θ
ϕ
ϕ
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