Fiche A • Systèmes de coordonnées et vecteur position
Les systèmes de coordonnées cylindriques sont en général utilisés lorsque que le mobile étudié décrit un mouvement de rotation autour d’un axe.
C. COORDONNÉES SPHÉRIQUES
Il n’est pas rare que pour le système de coordonnées sphériques la base
soit directement lié au système étudié. Dans un tel système de coordonnées la direction des 3 vecteurs
unitaires varie au cours du temps, ce qui implique que leur dérivée respective par rapport au
temps n’est pas nulle.
Dans un système de coordonnées sphériques, la position d’un point M de l’espace est repérée par
sa distance par rapport à l’origine
, l’angle
, et l’angle
.
L’angle
sert à repérer la direction du vecteur position
dans le plan
alors
que l’angle
fixe le plan
autour de l’axe
. Par définition la position d’un
point M, à un instant t, en coordonnées sphériques est donnée par :
Les systèmes de coordonnées sphériques sont peu utilisés car ils conduisent à des systèmes
d’équations difficiles à résoudre analytiquement. Cependant, leur utilisation est parfois pertinente, notamment lorsque les propriétés du mobile étudié ne dépendent que de la distance à
un point (exemple : étude du mouvement d’un mobile, astreint à se déplacer à la surface de la
Terre, par rapport au centre de la Terre).
Dans le système de coordonnées sphériques l’espace est
rapporté à un système de trois axes orthogonaux, , ,
, d’origine O, muni d’une base directe
.
Le vecteur
est appelé vecteur radial, le vecteur
est
le vecteur orthoradial tel que
et le vecteur
est tel que la base
soit directe (c’est-à-dire
telle que :
).
r
u
u
u θ
ϕ
y
z
x
()
θ t
() t
ϕ
O
q
r
M
O
x O
y
O
z
uuu r ,, θϕ
(
)
u r
u θ
uu r , θ
π
( ) = 2
u ϕ
uuu r ,, θϕ
(
)
uuu r ∧= θϕ
uuu r ,, θϕ
(
)
r t
()
=OM
ϕ () t
x
=O,Oq
( )
θ t
z
( ) ( )
=O,OM
θ () t
OM
O, OM,
k
(
)
ϕ () t
O, OM,
k
(
)
Ok
( )
OM
()
()
t
t
ru
r
=
250