A Systèmes de coordonnées
et vecteur position
A. COORDONNÉES CARTÉSIENNES
où
,
et
sont des fonctions du temps qui représentent les coordonnées du point M à
l’instant t (
,
et
représentent les projections orthogonales du vecteur position, respectivement sur les axes
,
et
).
Le système de coordonnées cartésiennes est le système de coordonnées le plus naturel et le
plus fréquemment utilisé.
B. COORDONNÉES CYLINDRIQUES (OU POLAIRES)
En coordonnées cylindriques la position d’un point M de l’espace est repérée par la distance
(où q est la projection orthogonale de M dans le plan
), l’angle polaire
, et la cote du point M, notée
. Les paramètres
et
sont les
coordonnées polaires de q. Par définition la position d’un point M, à un instant t, en coordonnées cylindriques est donnée par :
Dans un système de coordonnées cartésiennes l’espace est
rapporté à un système de trois axes orthogonaux, ,
,
, d’origine O, muni d’une base directe
(règle du
trièdre direct de la main droite : = pouce ; = index et
= majeur) (Cf. figure ci-contre).
Dans un système cartésien la position d’un point M, à un
instant t, est donnée par son vecteur position
, tel que :
Dans un système de coordonnées cylindriques (ou polaires) l’espace est rapporté à un système de trois axes
orthogonaux,
,
,
, d’origine O, muni d’une base
directe
. Pour les systèmes de coordonnées
cylindriques les vecteurs ,
(vecteurs formant la
base polaire) sont des fonctions du temps t, par conséquent leur dérivée par rapport au temps n’est pas nulle.
i
I
j
I
k
I
x
y
z
O
I
I
I
q
M
O
x O
y
O
z
ijk ,,
( )
i
j
k
OM
OM
t
ttt
xi yjzk
( ) ( )
( )
( )
=++
x t
() y t
()
z t
()
x t
() y t
()
z t
()
O
x O
y
O
z
k
I
r
u
I
u θ
I
z
I
y
I
x
I
() t
z
()
θ t
H
M
q
r
O
O
x O
y O
z
uuk r ,, θ
(
)
u r
u θ
r t
() =O q
O, ,
xy
(
)
θ () t
x
=O,Oq
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
z t
() =OH
r t
()
θ () t
OM
() ()
()
t
ru
r
zk
tt
=+
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